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1、教材习题答案 54 第一章空间向量与 立体几何 1.1空间向量及其运算 . 空间向量及其线性运算 练习 .解析 答案不唯一.例如 三棱锥 中 、表示三个 不同在一个平面内的向量. .解析 () () () () . 向量 如图所示. .解析 . .解析 如图连接 . () () ( ) () ( ) . 向量 如图所示. .解析 () . () . () ( ) . . 空间向量的数量积运算 练习 .设 则 ( )( ) . 与 所成角的大小为 故 选 . .解析 ()() . ()() . ()()() . .解析() . () ( ) . 即 的长为. () 即 的长为. .解析 即 两点
2、间的距离为 . 习题 1.1 复习巩固 .解析() 与向量 相等的向量有: 、. ()与向量 相反的向量有:、 、. ()与向量 平行的向量有:、 、. .解析 () . () . ()设点 是线段 的中点则 . ()设点 是线段 上靠近点 的三 等分点则 ( ) . 向量 如图所示. .证明 因为向量 、 共线所以根据向 量共线的充要条件假设存在实数 使得 则 () 所以向量 与 共线. .解析 () . () . () (). () (). () (). () () () . 综合运用 . ( ) () 55 . .证明 ( ) ( ) 所以 所以 所以四边形 是平行四边形 所以 四点共面
3、. .解析() ( )() . 又 和 的夹角为 . ()证明: ( ) ( ) . .证明 如图 是平面 的斜线 为 斜足 为垂足平面 且 . 因为 所以 所 以 所以 因为 所以 所以 又因为 所以 () 所以 所以 . 拓广探索 .证明因为 所以 () 所以 . 因为 所以 ( ) 所以 . 所以 () 所以 所以 . .证明如图取 的中点 连接 、则有 . () . . 点 、 分别是 、 的中点 . 四边形 为平行四边形. 又 四边形 为矩形. 1.2空间向量基本定理 练习 .解析 与 、 共面 与 不共面 向量 一定可以与 、 一起构成空间的另一个基底. .解析 、不构成空间的一
4、个基底 、共面 、 四点共面. .解析 () 是平行六面 体中有公共点的三条棱由平行六面体 的结构特征知 不共面 能构成空间的一个基底. () ( ) . 练习 . 证 明 因 为 所 以 所 以 () 所以 所以 . .解析 设 因为这 三个向量不共面所以 构成空 间的一个基底. 则 所以 ()() 所以 . 所以 与 所成角的余弦值为 . .证明设 则 构成空间的一个正交基底. 所以 所以 ()() 所以 所以 . 习题 1.2 复习巩固 .解析 因为向量 与任何向量都不 能构成空间的一个基底所以向量 共线或 都是零向量. .因为 构成空间的一个基 底所以向量 、 不共面. 对于 因为 (
5、) () 所以 三个向量共面 对于 同理可得向量 共面 对于 若 共面则 ( )() ()()则 教材习题答案 56 共面与向量 不共面矛盾所 以 不共面所以 正确 对于 因为 ()所以 三个向量共面.故选 . .解析如图四面体 中 分 别是 的中点 ( ) . .解析由已知得 ( ) ( ) ( ) . 综合运用 .解析 设 则 构成空间的一个正交基底. 所以 所以 () 所以 即 的 长 为. .证明 设 则 构成空间的一个基底. 由题意知平行六面体的所有棱长都相 等设棱长为 所以 ()() ()() 所以 所以 因为 平 面 平 面 所以 平面 . 拓广探索 .解析()证明:设 则构成空
6、间的一个单位正 交基底. 所以 () () 所以 ()() ( ) 所以 所以 . ()由()知 ()所以 因为 所以 () 所 以 () () 所以 ( ) () . 所以 所以 与 所 成 角 的 余 弦 值 为 . .证明如图已知四面体 分别是 的中点且 . 设 则构成 空间的一个基底. 因为 分别是 的中点 所以 () ( ) ( ) 所以 () () ( ). 因为 所以 () () () 整理得 所以 () 因为 所以 () 即 所以 . 同理可得 . 1.3空间向量及其 运算的坐标表示 . 空间直角坐标系 练习 .解析 建立如图所示的空间直角坐标 系表示各点如图. 57 .解析
7、()在空间直角坐标系 中 平面与 轴垂直 平面与 轴 垂直 平面与 轴垂直. ()点 ()在 平面内的射影 坐标为 ()在 平面内的射 影坐标为 ()在 平面内的 射影坐标为 (). ()点 ()关于原点成中心对称 的点的坐标为 (). .解析() ()() (). () () (). .解析 因为点 是点 ()在坐标 平面 内的投影所以 () 所以 () 所以 . . 空间向量运算的坐标表示 练习 .解析 () () (). ()() ( ). () () () (). ()()() . .解析 因为 所以 所以解得 . .解析 由点 在 轴上可设 ( )又因为 ()( ) 所 以() ()
8、() () ()() 解 得 .所以 (). .解析因为正方体的棱长为 所以 () ( ) ( ) () 设 ()() 因为 所以 所以( ) () 所以 所以 (). 因为 所以 所以() () 所以 所以 (). 所以 () () () . 所以 的长为 . .解析 设正方体的棱长为 建立如图 所示的空间直角坐标系 . 则 ()()() ()所以 () () 设 与所 成 的 角 为 ()则 ()() () . 所以 与 所 成 角 的 余 弦 值 为 . 习题 1.3 复习巩固 .解析 若向量 轴则向量 ( )()向量 轴则向量 ()()向量 轴则向量 ()(). .解析 ()与点 关于
9、 轴的对称点 为 (). () 与 点 关 于 轴 的 对 称 点 为 (). () 与 点 关 于 轴 的 对 称 点 为 (). () 与 点 关 于 原 点 的 对 称 点 为 (). .解析 因为正方体的棱长为 分别是相应棱的中点 所 以 () () () () () (). .解析 图略. () () ()() . () () ()() . .解析() () () () . ()()() () (). 综合运用 . 证 明 由 已 知 可 得 () ()() () ()() () ()() 因为 ( ) 所以 又 所以以 ()()( ) 为顶点的三角形是等腰直角三 角形. .解析 因
10、为 ()() 所以 ()() 的中点坐标为 () 即 () () () . 拓广探究 .解析 设正方体的棱长为 以 为原 点建立如图所示的空间直角坐标系. 则 () ()( ) () 教材习题答案 58 所以 () () 所以 . 所 以 所以 与 所成角的余弦值为 . .解析 设向量 在基底 下的坐标为() 则 ()()()( ). 因为 所以 解得 所以向量 用基底表示 为 () (). 1.4空间向量的应用 . 用空间向量研究直线、 平面的位置关系 练习 .答案 () () () .解析 如图 ( ) . 所 以 直 线 的 一 个 方 向 向 量 为 . .解析依题意()() ()所以
11、 () () 设 ()是平面 的法向量 则 . 所以 取 则 于是 () 所以平面 的一个法向量为( ). 练习 .证明 已知直线 平面 . 求证:. 证明:设平面 的一个法向量为 直 线 的方向向量分别为 因为 所以 因为 所以 所以 所以 所以 . .解析不存在.在四面体 中设 则构成一 个基底 因为 是 的中点所以 设 ()则 若 则设 所以 () 所以 () 因为 构成一个基底 所以 此方程组无解所以直 线 上不存在点 使得 . .证明 设正方体的棱长为 以 为坐 标原点 的方向分别为 轴 轴 轴的正方向建立空间直角 坐标系 则根据题意() ()( ) ( ) () 所以 () ()
12、() 设 ()是平面 的一个法向 量则 所以 . 取 则 所以 () 又 ()() 所以 所以 平面 . 练习 .解析 ()由 得 所以 即()() 所以 即 . ()由 得 设 () 即() () 所以 解得 . .证明 如图()() ()()所以 ( ) () 所以 ()( ) 所以 所以 . . 证 明 如 图 在 长 方 体 中以 为坐标原点 的方向分别为 轴 轴 轴 的正方向建立空间直角坐标系 59 因为 分别是 的中点 所以 ( ) ( ) ()() 所以 () () () () 设 ()为平面 的法向 量则 所以 . 取 则 即 (). 设 ()为平面 的法向 量则 所以 . 取
13、 则 即 (). 因为 ()() 所以 所以平面 平面 . . 用空间向量研究 距离、夹角问题 练习 .答案 . 解 析 如 图 在 正 方 体 中以 为坐标原点 的方向分别为 轴 轴 轴 的正方向建立空间直角坐标系 . () 因 为 正 方 体 的 棱 长 为 所 以 () ()() 所以 () () 取 () () 所以 点 到 直 线 的 距 离 为 ( ) . ()由正方体的性质知所 以直线 到直线 的距离等于点 到直线 的距离 易得 () ()( )所以 () () 取 ( ) 所 以 点 到 直 线 的 距 离 为 ( ) . 所以 到直线 的距离为 . ()由 ()()( ) (
14、) 得 () () ()设 ()为平面 的法向量 则 所以 取 则 所以 () 所以 点 到 平 面 的 距 离 为 ()() () . () 由正方体的性质知平面 所以点 到平面 的距离 即为 到平面 的距离. 由()知平面 的一个法向量为 ()易知 () 所以直线 到平面 的距离为 ()() () . . 解 析 如 图 在 正 方 体 中以 为坐标原点 的方向分别为 轴 轴 轴 的正方向建立空间直角坐标系 则 ()()() () 由已知条件及正方体的性质易知平 面 平面 ( )是平面 和平面 的一个 法向量 () 所以平面 和平面 的距离为 ()() () . 练习 .解法一: 设 以
15、为单位正交基底则 则 () () . 在直角三角形中易求得 设向量 与 的夹角为 则直线 与 所成角的余弦值为 则 . 解法二:由已知可得 两两 垂直以 为坐标原点建立如图所示 的空间直角坐标系 教材习题答案 60 设 所以 () ()因为 分别为 的中点 所以 () () 所以 () () 所 以 () () 设向量 与 的夹角为 则直线 与 所成角的余弦值为 则 . 所以 与 所成角的余弦值为 故选 . . .解析在正三棱柱 中取 的中点分别为 连接 以 为坐标原点直线 分 别为 轴 轴 轴建立如图所示的空 间直角坐标系 因为正三棱柱的所有棱长都为 所以 ()( )( )() 所以 ( )
16、 ( ) () 设 () 为平面 的法 向量 则 即 即 所以 取 则 所以 ( ) 设 () 为平面 的法 向量 则 即 取 则 所以 设平面 与 平面 所成的角为 所以 ( ) ( ) . 所以平面 与平面 所成角的 余弦值为 . .解析如图所示建立空间直角坐标 系设 则 () ( ) () . () 与 所成角的大小为 . ()设直线 与平面 所成角的 大小为 易得 ()是平面 的一个 法向量 即直线 与平面 所成 角的大小为 . ()设 ()是平面 的法向 量则 即 取 则 ( ) 设平面 和平面 的夹角为 . 平面 和平面 的夹角的余弦 值为 . 练习 .解析 设 与的夹角为 ( )因为 都垂直于棱 所以 所以 由已知得 所以 因为 代入上式得() 所以 所以平面 与平面 的夹角为. .解析 连接 取 的中点 连接 因为 、 分别为 、 的中 点所以 所以 为异面直线 与 所 成的角如图 因为 所以 () () 因为 所以 () () 在 中由余弦定理知 61 ( ) ( )( ) 所以异面直线 所成角的余弦值 为 . .解析 由已知以 为坐标原点建立 如图的空间直角坐标系
