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1、第六章习题解答2、利用梯形公式和Simpson公式求积分的近似值,并估计两种方法计算值的最大误差限。解:由梯形公式:最大误差限其中,由梯形公式:最大误差限,其中,。4、推导中点求积公式证明:构造一次函数P(x),使则,易求得且,令现分析截断误差:令由易知为的二重零点,所以可令,构造辅助函数,则易知:其中为二重根有三个零点由罗尔定理,存在从而可知截断误差在(a,b)区间上不变号,且连续可积,由第二积分中值定理综上所述 证毕6、计算积分,若分别用复化梯形公式和复化Simpson公式,问应将积分区间至少剖分多少等分才能保证有六位有效数字?解:由复化梯形公式的误差限可解得:即至少剖分213等分。由复化
2、梯形公式的误差限可解得:即至少剖分4等分。7、以0,1,2为求积节点,建立求积分的一个插值型求积公式,并推导此求积公式的截断误差。解:在0,1,2节点构造lagrange插值多项式,则有则对上式在0,3上求积分,则有其中再分析截断误差 此处分段处理即1)其中,对于由于在0,2上不保持常号故考虑构造一个三次多项式满足下列插值条件:由Hermite插值方法,有则 显然此时在0,2上恒小于等于0.于是由第二积分中值定理2)其中显然在2,3上恒正.于是由第二积分中值定理综上,截断误差所以 8、(1)试确定下列求积公式中的待定系数,指出其所具有的代数精度。解:分别将,x代入求积公式,易知求积公式精确成立
3、。代入,令求积公式精确成立,于是有:可解得:代入,于是有左=右,求积公式成立。代入,于是有,求积公式不精确成立。综上可知,该求积公式具有三次代数精度。9、对积分,求构造两点Gauss求积公式,要求:(1)在0,1上构造带权的二次正交多项式;(2)用所构造的正交多项式导出求积公式。解:(1)构造在0,1上构造带权函数的正交多项式、,取、 ,其中,则。同理,求的零点得:,求积系数:(2)求(1)可导出求积公式:11、试用三点Gauss-Legendre公式计算并与精确值比较。解:设三点Gauss-Legendre求积节点为:,相应求积系数为:,,,令则精确值为:ln3=1.09861229,二者误差:R5.730710-4。13、对积分导出两点Gauss求积公式解:在0,1上构造带权的正交多项式、=1,同理可得求的零点可得以、作为高斯点两点高斯公式,应有3次代数精度,求积公式形如将代入上式两段,联立解出:所以所求两点Gauss求积公式15、利用三点Gauss-Laguerre求积公式计算积分解:原积分,其中由三点Gauss-Laguerre求积节点:相应求积系数则16、设四阶连续可导,。试推导如下数值微分公式的截断误差。解:设是的过点的2次插值多项式,由Lagrange插值余项(n=2)有,其中若取数值微分公式则截断误差将代入得 误差项中,所以截断误差为,即