《广东省深圳市2021届高三下学期4月第二次调研考试数学答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东省深圳市2021届高三下学期4月第二次调研考试数学答案（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、深圳市高三数学第二次调研考试试题答案及评分参考第1页（共15页） 2021 年深圳市高三第二次调研考试年深圳市高三第二次调研考试 数学试题答案及评分参考 一、单项选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B B A B C A 二、多项选择题： 题号 9 10 11 12 答案 BD AC BC ACD 12. 设 函 数( )ee x f xx=和 2 1 ( )ln(12 ) 2 g xxkxk x=+()kR， 其 中e是 自 然 对 数 的 底 数 （=2.718 28e） ，则下列结论正确的为 A.( )f x的图象与x轴相切 B. 存在实数0k ，使得 ( )g
2、 x的图象与x轴相切 C. 若 1 2 k =，则方程( )( )f xg x=有唯一实数解 D. 若( )g x有两个零点，则k的取值范围为 1 (0, ) 2 解析：( )ee x f xx=，则( )ee x fx=；( ) 2 1 ln(12 ) 2 g xxkxk x=+， 则( ) 2 2(21)1(21)(1) (0) kxkxkxx gxx xx + = = . （选项 A）易知1x =是( )f x的极小值点，且(1)0f=，所以( )f x的图象与x轴相切，故选项 A 正确. （选项 B）显然当0k 时，( )0g x，( )g x无极值点，则( )g x的图象与x轴不可能
3、相切，故选项 B 错误. （选项 C）易知函数( )f x的最小值( ) 1 1ee 10f= =；当 1 2 k =， 则函数( )g x的最大值 1 ()(1) 2 gg k = 111 ln1(12) 1 222 =+ +0=， 因此方程( )( )f xg x=有唯一解1x =. （选项 D） （解法一）易知当0k 时， 1 2 x k =是( )g x的极大值点， 若函数( )g x有两个零点，则须有 1 ()0 2 g k ，即 2 1111 ln()(12 )0 2222 kk kkk +， 绝密启封并使用完毕前 绝密启封并使用完毕前 试题类型：试题类型：A 1 深圳市高三数学第
4、二次调研考试试题答案及评分参考第2页（共15页） 化简得 11 ln(2 ) 42 k k ，不难解得 1 0 2 k， 当0 x + 时，( )g x ， 显然当 1 0 2 k时，有 2 11 2kk ， 又 2 2222232 1111111121 ()ln()(12 )1 22 gkk kkkkkkkk =+ + 322 12211121 (2)() 22kkkkkk = +=+，当 1 0 2 k时， 2 1 ()0g k ，故选项 D 正确. （解法二）( )g x有两个零点 2 1 ln(12 )=0 2 xkxk x+ 1 ln ln1 2 =21=21 2 x x kxkkx
5、k xxx + + +， 构造函数 ln1 ( ) 2 x u x xx =+和( )=21v xkxk+， 则 2 12ln ( ) 2 x u x x =，易知ex =是( )u x的极大值点，极大值 1 ( e) e u=， 函数( )=21v xkxk+的图象是过定点( 2, 1)的直线， 直线1= (2)yk x+与函数( )u x的图象相切于点 00 (, ()x u x，则 0 0 0 ()1 () 2 u x u x x + = + ， 则 0 2000 000000 2 00 ln1 1 12ln2 22(44)ln12ln1 22 x xxx xxxxxx xx + =+
6、= + ， 则 12ln11 (1) 22 ku =， 则k的取值范围为 1 (0, ) 2 ，故选项 D 正确. 综上所述，选项 ACD 正确. 三、填空题： 13. 22 1 43 xy +=（答案不唯一） ； 14. 79； 15. 15 2 ； 16. 2 3 2+ . 13. 解析：解析： 22 1 43 xy +=，形如 22 1(0) 43 xy m mm +=这样的方程均可. 16著名的费马问题是法国数学家皮埃尔 德 费马（16011665）于 1643 年提出的平面几何极值问题： “已 知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费
7、 马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当ABC的三个内角均小于120时，则使 得120APBBPCCPA=的点P即为费马点.已知点P为ABC的费马点，且ACBC，若 2 深圳市高三数学第二次调研考试试题答案及评分参考第3页（共15页） |PAPBPC+=，则实数的最小值为 . 解析： （解法一）解析： （解法一）不妨设| |PAm PC= ，| |PBn PC= ，且| |PCx= ， 由余弦定理得 2222222 |2cos120(1)CAxm xmxmmx=+=+， 2222222 |2cos120(1)CBxn xnxnnx=+=+， 222222222 |2cos120
8、()ABm xn xmnxmnmn x=+=+， 222 |ABCACB=+， 2222222 ()(1)(1)mnmn xmmxnnx+=+，即2mnmn+ + =， 又 2 () 4 mn mn + ， 2 () 2 4 mn mn + +， 显然m n+ =， 2 480 ，解得22 3+，或22 3（舍去） ， 易知当31mn=+时，等号成立， 实数的最小值为2 32+，故应填2 32+. （解法二）（解法二）不妨设PCA=，则 2 PCB=， 3 PAC=， 6 PBC=， 由正弦定理得 |sinsin |31 sin() cossin 3 22 PA PC = ， 及 sin()
9、|cos 2 |31 sin() sincos 6 22 PB PC = ， sincos3sin23 1 313132sin23 cossinsincossin2 22222 =+= ， 易知 63 ， 2sin2323， 33 112 32 2sin2323 = =+ ，即2 32+， 易知当 4 =时，等号成立， 实数的最小值为2 32+，故应填2 32+. 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 3 深圳市高三数学第二次调研考试试题答案及评分参考第4页（共15页） 17 （10 分） 在 212 2baa=+， 28 ba=， 35 Ta=这三个条件中选择一个，补充在下面问
10、题中，并作出解答. 问题：已知数列 n a的前n项和 2 21 n Snn=，等比数列 n b的前n项和为 n T， 13 ba=，且_， 判断是否存在唯一的k()k N，使得1 k b ，且 1 1 k b + . 若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 解解：由(21) n Snn=，得 11 20aS=， 1 分 当1n时， 22 1 (21)21(1)(1) nnn aSSnnnn = 22 2n=， 经检验，当1=n时，上式也成立， 故 n a的通项公式为222 n an=， 3 分 则 13 16ba=. 4 分 选择条件的解答：
11、 由222 n an=，得 1 20a =， 2 18a =， 5 分 12 2 2 aa b + = 20 18 19 2 + =， 6 分 则等比数列 n b的公比 2 1 19 1 16 b q b = ， 7 分 则 n b是递增的等比数列，且 11 1 19 16 ()1 16 nn n bb q =， 9 分 故不存在k()k N，使得1 k b ，且 1 1 k b + . 10 分 选择条件的解答： 由222 n an=， 得 8 6a =，即 28 6ba=， 5 分 则等比数列 n b的公比 2 1 63 168 b q b = ， 6 分 则 n b的通项公式 11 1
12、3 16 ( ) 8 nn n bb q =， 8 分 则 n b是递减的等比数列， 当3k =时，使得 3 9 1 4 b =，且 4 27 1 32 b =， 易知存在唯一的3k =，使得1 k b ，且 1 1 k b + . 10 分 选择条件的解答： 由222 n an= ，得 5 12a = ， 5 分 设等比数列 n b的公比为q， 222 31111(1 )16(1)Tbbqbqbqqqq=+=+=+12=，即 2 1440qq+=， 4 深圳市高三数学第二次调研考试试题答案及评分参考第5页（共15页） 解得 1 2 q = ， 7 分 则 n b是摆动的等比数列，且 11 1
13、 1 16 () 2 nn n bb q = ， 8 分 当1k =时，使得 12 1618bb= =， 当3k =时，使得 34 412bb= =， 故不存在唯一的k()k N，使得1 k b ，且 1 1 k b + . 10 分 【命题意图】 本题主要考查等差数列、 等比数列的通项公式及前n项和公式等， 考察了学生的数学运算、 逻辑推理等核心素养. 18 （12 分） 设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 222 sinsinsin2sinsinABCAB+=. (1) 求C； (2) 若 3 cos 5 B =，D是边BC上一点，且4CDBD=，ACD的面积为 7 5 ，
14、求b. 解：解：(1)由正弦定理，及 222 sinsinsin2sinsinABCAB+=，可得 222 2abcab+=，3 分 由余弦定理，得 222 2 cos 22 abc C ab + =， 4 分 ()0,C， 4 C =； 5 分 （解法一）（解法一）ACD的面积为 7 5 ，且4CDBD=， ABC的面积为 7 4 ， 6 分 3 cos 5 B =，且()0,B， 2 4 sin1cos 5 BB=，7 分 又 4 C =， 7 2 sinsin()sin()= 410 ABCB=+=+，8 分 在ABC中，由正弦定理，得 sinsin ba BA =， sin4 2 si
15、n7 B baa A =， 5 深圳市高三数学第二次调研考试试题答案及评分参考第6页（共15页） 7 2 8 ab=， 10 分 ABC的面积为 7 4 ， 2 717 sin 4216 abCb=， 2b=， 即2AC =. 12 分 （解法二）（解法二）设BDx=，4CDx=，过A作AEBC于E， 6 分 3 cos 5 B =，且()0,B， 4 tan 3 B =， 则由 (1) 易知 22 = 22 AEACb=， 2 5 2 BExb=， 7 分 在直角ABE中，有 2 4 2 tan= 32 5 2 b AE B BE xb = ， 8 分 7 2 40 xb=， 10 分 22
16、 11 7 2277 sin 22102205 ACD SCD ACCbb =， 2b=， 即2AC =. 12 分 【命题意图】本题主要考察正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等知识，渗透数形结合、转化与化归、 方程等思想，意在考察学生的逻辑推理，数学运算等核心素养 6 深圳市高三数学第二次调研考试试题答案及评分参考第7页（共15页） 19 （12 分） 如图，在直四棱柱 1111 ABCDABC D中，/AB CD，2DC =， 1 3AA =，1ABBCDA=，点E和F 分别在侧棱 1 AA、 1 CC上，且 1 1A ECF=. (1) 求证：BC平面 1 D EF； (2) 求直线AD与平面 1 D EF所成角的正弦值. 解：解：(1) 证明：如图所示，分别取CD， 1 FD的中点M，N，连接MN，AM，EN.1 分 M，N分别是CD， 1 FD的中点， MN是梯形 1 CFD D的中位线， 1 /MNCFD D，且 1 1 ()2 2 MNCFD D=+=. 1 1A E =， 11 /A AD D， 2EAMN=，且/EA MN， 四边形AENM是平行四边形， /ENAM.
