《北京市顺义区2013届高三第二次统练 理科数学 含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市顺义区2013届高三第二次统练 理科数学 含答案（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、北京市顺义区 2013 届高三第二次统练数学试卷(理工类)一、选择题.共 8 小题,每小题 5 分, 共 40 分.在每小题所列出的四个选项中 ,选出符合题目要求的一项.1.已知集合 ,则034232xxBxARRBAA. B. C. D.1,31,1,32,2.复数 i2A. B. C. D.5i25i25i2513.在极坐标系中,直线 的方程为 ,则点 到直线 的距离为l4sn43,AlA. B. C. D.22224.执行如图所示的程序框图,输出的 值为sA. B.103C.4 D.55.已知数列 中, ,等比数列 的公比na54nb满足 ,且 ,则q2121abb21A. B.n4nC
2、. D.3346.设变量 满足约束条件 则 的取yx,14,2yxyx32值范围是A. B. C. D.21,46,264, 2,6417.已知正三角形 的边长为 1,点 是 边上的动点,点 是 边上的动点,且ABCPABQAC,则 的最大值为R,QPCA. B. C. D.232383838.设 ,若直线 与 轴相交于点 ,与 轴相交于点 ,且坐标原点Rnm, 01:nyxlxyB到直线 的距离为 ,则 的面积 的最小值为OlAOBSA. B.2 C.3 D.421开始 1,sk?5k1ks2输出 s结束否是二、填空题(本大题共 6 个小题, 每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中的横
3、线上)9. 的展开式中含 的项的系数为 (用数字作答 ).91x5x10.设 的内角 的对边分别为 ,且 ,则 ,ABC, cba54,31osbBACsin的面积 .S11.如图, 已知圆中两条弦 与 相交于点 是ABCDEF,延长线上一点,且 ,若ABBF2,与圆相切,且 ,则 .CE2712.一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为92m2,则 m.h13.已知双曲线 的离心率为 ,顶点与椭圆 的焦0,12bayx 3621582yx点相同,那么该双曲线的焦点坐标为 ,渐近线方程为 .14.设定义在 上的函数 是最小正周期为 的偶函数, 是 的导函数.当Rfff时, ;当 且 时
4、, .则函数0x1x,02x0x在 上的零点个数为 .fycos3,EBFDC正(主)视图 侧(左)主视图俯视图245h三、解答题(本大题共 6 小题, 满分 80 分.解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤)15.(本小题满分 13 分)已知函数 .21cos2in3xxf(I)求 的值;(II)求函数 的最小正周期及单调递减区间.xf16.(本小题满分 14 分)如图, 在长方体 中,1DCBA, 为 的中点, 为11ADEF的中点.(I)求证: 平面 ;1(II)求证: 平面 ;/F(III)若二面角 的大小为 ,AB45求 的长.A17.(本小题满分 13 分)为增强市民的节能环保意
5、识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是: .45,035,0,25,0(I)求图中 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 岁的人数;x (II)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传活动,再从这 20 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人.记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为 ,求 的分布列及数学期望.X20 25 30 35 40 45 年龄/岁频率/组距0.070.02x0.040.01
6、OFED1A1C1 DACB18.(本小题满分 13 分)已知函数 ,其中 为正实数, .21axef718.2e(I)若 是 的一个极值点,求 的值;2xfya(II)求 的单调区间.f19.(本小题满分 14 分)已知椭圆 的两个焦点分别为 ,且 ,点 在椭圆01:2bayxC21F21P上,且 的周长为 6.21FP(I)求椭圆 的方程;(II)若点 的坐标为 ,不过原点 的直线 与椭圆 相交于 两点,设线段 的中点OlCBAA为 ,点 到直线 的距离为 ,且 三点共线.求 的最大值.MldPM, 22163d20.(本小题满分 13 分)已知函数 ,其中 为大于零的常数,2ln1ln,
7、12axgaexfx a,函数 的图像与坐标轴交点处的切线为 ,函数 的图像与直线718.2efy 1xgy交点处的切线为 ,且 .y2l21/l(I)若在闭区间 上存在 使不等式 成立,求实数 的取值范围;5,xxfmm(II)对于函数 和 公共定义域内的任意实数 ,我们把 的fyg000xgf值称为两函数在 处的偏差.求证:函数 和 在其公共定义域内的所有偏差都0xxfyg大于 2.顺义区 2013 届高三第二次统练数学试卷( 理工类)参考答案一、ABBA BCDC二、9.36 10. 11.92510,6242112.4 13. 14.6xy3,三、15.解:(I) 3f 213cos2
8、in212110.4 分2(II) ,得cosxZk故 的定义域为 .f Rkx,2因为 1cos2in3xxf2isin1si2i32xcoinx2s1si23,6inx所以 的最小正周期为 .xf 2T因为函数 的单调递减区间为 ,ysin Zkk23,由 ,xkxk,2362得 ,Zk,所以 的单调递减区间为 .xf Z k32,2,613 分16.(I)证明:在长方体 中,1DCBA因为 平面 ,1BA1所以 .因为 ,D1所以四边形 为正方形,1A因此 ,1又 ,1DB所以 平面 .1A又 ,且 ,C/1所以四边形 为平行四边形.DB又 在 上,E所以 平面 . 1AE14 分(II
9、)取 的中点为 ,连接 .1BNF因为 为 的中点,所以 且 ,F1 12/BA12NF因为 为 的中点,所以 ,ECDCDE而 ,且 ,1/BA1所以 ,且 ,DENF/因此四边形 为平行四边形,所以 ,而 平面 ,/EAB1所以 平面 .19 分(III)如图,以 为坐标原点 ,建立空间直角坐标系 ,设 ,AxyzaAB则 ,10,2,10,0aED故 .,1AaBA由(I)可知 平面 ,1E1所以 是平面 的一个法向量.D设平面 的一个法向量为AB1,zyxn则 ,0,1En所以 2yxaz令 ,则 ,1az,所以 .n,2设 与 所成的角为 ,则1AD.2142cosan因为二面角 的
10、大小为 ,1AEB5NFED1A1CB1 DACBx yz所以 ,即 ,45cos245123a解得 ,1a即 的长为 1.14 分AB17.解 :(I)小矩形的面积等于频率,除 外的频率和为 0.70,4035.3 分67.1x500 名志愿者中,年龄在 岁的人数为 (人).40,3515006.(II)用分层抽样的方法,从中选取 20 名,则其中年龄“低于 35 岁”的人有 12 名,“年龄不低于 35 岁”的人有 8 名.故 的可能取值为 0,1,2,3,X,2514038CP,932081,5432018CXP,73201故 的分布列为X0 1 2 3P2851492895471所以
11、.7390EX13 分18.解 : .221axexf(I)因为 是函数 的一个极值点,21xxfy所以 ,0f因此 ,14a解得 .3经检验，当 时， 是 的一个极值点，故所求 的值为 .2x)(xfya344 分(II) 0122 axeaxf令 得 0f 1(i)当 ,即 时,方程两根为42a.axax 2221 ,此时 与 的变化情况如下表:fxfxa2,2 a22, a2,2af0 0x 极大值 极小值 所以当 时, 的单调递增区间为 , ; 1axf a2, ,2a的单调递减区间为 .xfaa22,(ii)当 时,即 时, ,042a1012x即 ,此时 在 上单调递增.xfxf所
12、以当 时, 的单调递增区间为 .1,13 分19.解 :(I)由已知得 且 ,2c6ca解得 ,1a又 ,322b所以椭圆 的方程为 .C142yx3 分(II)设 .21,yxBA当直线 与 轴垂直时,由椭圆的对称性可知,点 在 轴上,且与 点不重合,l MxO显然 三点不共线,不符合题设条件.POM故可设直线 的方程为 .l0mkxy由 消去 整理得1243,2xmky.08x则 ,1243622 kk所以点 的坐标为 .22143,kmxM2243,km因为 三点共线,所以 ,POM2243,kkOP因为 ,所以 ,02此时方程为 ,则 ,033mx012m3,21xm所以 21212yAB224xxk,13m又 ,28d所以 ,3524341263122mmdAB故当 时, 的最大值为 .04m2216dAB13 分20.解 :(I)函数 的图像与坐标轴的交点为 ,xfy,0a又 , .aef2 af20函数 的图像与直线 的交点为 ,xgy1y12又 , .1 a2由题意可知, ,4,又 ,所以 .3 分0a不等式 可化为 ,xfmxxfxm即 .xe令 ,则 ,xhxeh21.21,0x又 时, ,e,121x故 ,0xh在 上是减函数,即 在 上是减函数,x51因此,
