《北京市西城区2013届高三第一次模拟考试 理科数学 含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市西城区2013届高三第一次模拟考试 理科数学 含答案（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、北京市西城区 2013 届高三下学期(4 月)一模数学(理)试卷2013.4第卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集 ，集合 ， ，那么UR|02Ax2|10BxUAB（A） |01x（B） |1（C） |（D）|12x2若复数 的实部与虚部相等，则实数iaa（A） 1（B） 1（C） 2（D） 23执行如图所示的程序框图若输出 ，则输入3y角 （A） 6（B） （C） 3（D） 4从甲、乙等 名志愿者中选出 名，分别从事 ， ， ， 四项不同的工作，每人承54ABCD担一项若甲、乙二人均
2、不能从事 工作，则不同的工作分配方案共有（A） 种60（B） 种72（C） 种84（D） 种965某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为 的正方形，该正三棱柱的表面积是2（A） 63（B） 1（C） 2（D） 436等比数列 中， ，则“ ”是“ ”的na1013a36a（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件7已知函数 ，其中 若对于任意的 ，都有22()logl()fxxc0(0,)x，则 的取值范围是1fc（A） (0,4（B） 1,)4（C） 1(,8（D） 1,)88如图，正方体 中， 为底面1CDAPAB上的动点，
3、于 ，且 ，则点 的PEE轨迹是（A）线段 （B）圆弧（C）椭圆的一部分 （D）抛物线的一部分第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9已知曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，则曲线 的直角坐标方程为 C2cos1inxyC 10设等差数列 的公差不为 ，其前 项和是 若 ， ，则na0nnS230kS_k11如图，正六边形 的边长为 ，则ABCDEF1ACDB_ 12如图，已知 是圆 的直径， 在 的延长线上，OPP切圆 于点 ， 于 若 ， ，CD6CD10则圆 的半径长为_ ； _ B13在直角坐标系 中，点 与点 关于原点 对称点 在
4、抛物线xOy(1,0)AO0(,)Pxy上，且直线 与 的斜率之积等于 ，则 _24yPB2014记实数 中的最大数为 ，最小数为 .设12,nx 12max,n 12min,nx ABC的三边边长分别为 ，且 ，定义 的倾斜度为,abccABCmax,int,bc（）若 为等腰三角形，则 _；ABCt（）设 ，则 的取值范围是_ 1at三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 13 分）已知函数 的一个零点是 ()sincosfxax4（）求实数 的值； （）设 ，求 的单调递增区间 ()()23sincogf x()g16
5、（本小题满分 13 分）某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取 名同学进行3学业检测（）求从甲组抽取的同学中恰有 名女同学的概率；1（）记 为抽取的 名同学中男同学的人数，求随机变量 的分布列和数学期望X3X17 （本小题满分 14 分）在如图所示的几何体中，面 为正方形，面 为等腰梯形， / ，CDEFABCDABCD，BCA2， 60（）求证： 平面 ；B（）求 与平面 所成角的正弦值；BCEA（）线段 上是否存在点 ，使平面 平面 ？DQEACQB证明你的结论18 （本小题满分 13 分）已知函数 ， ，其中 ()lnf
6、xa()e3axgaR（）求 的极值；（）若存在区间 ，使 和 在区间 上具有相同的单调性，求 的取值范M)(xfMa围19 （本小题满分 14 分）如图，椭圆 的左焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 ， 两21(0)xyabFAB点当直线 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为 AB60（）求该椭圆的离心率；（）设线段 的中点为 ， 的中垂线与 轴和 轴分别交于 两点记GABxy,DE的面积为 ， （ 为原点）的面积为 ，求 的取值范围GFD1SOED2S120 （本小题满分 13 分）已知集合 *12|(,),12,()n niSXxxnN 对于 ， ，定义12(,)nAa nBbS；1,Bba；
7、 与 之间的距离212(,)(,)(nnR AB为 1,|iidAab（）当 时，设 ， 若 ，求 ；5n5(1,2)Aa(2,413)(,)7dAB5a（） （）证明：若 ，且 ，使 ，则,nABCS0ABC； (,)()(,)dd（）设 ，且 是否一定 ，使(,)(,)d0？ABC说明理由；（）记 若 ， ，且 ，求 的(1,)nIS AnBS(,)(,)IAIBp(,)dAB最大值北京市西城区 2013 年高三一模试卷高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.4一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1 B； 2A； 3D ； 4B ； 5C； 6B； 7D ；
8、8A 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9 ； 10 ； 11 20xy 3212 ， ； 13 ； 14 ， 151215,)注：12、14 题第一问 2 分，第二问 3 分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15 （本小题满分 13 分） （）解：依题意，得 ， ()04f1 分即 ， 2sincos04aa3 分解得 1a5 分（）解：由（）得 ()sincofxx6 分()()23sincogxfxxsinco)3sin2x7 分22(si)sixx8 分cos3in9 分 2si()6x1
9、0 分由 ，2kk得 ， 36kxkZ12 分所以 的单调递增区间为 ， ()gx,13 分16 （本小题满分 13 分）（）解：依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 ， (35):2:11 分所以，从甲组抽取的学生人数为 ；从乙组抽取的学生人数2为 2 分31设“从甲组抽取的同学中恰有 名女同学”为事件 ， 1A3 分则 ，1528C()PA故从甲组抽取的同学中恰有 名女同学的概率为 115285 分（）解：随机变量 的所有取值为 X0,36 分， 21584C(0)P，1322156X， 352284849()C10 分136P所以，随机变量 的分布列为: X0123P5286985611
10、分 5930128628564EX13 分17 （本小题满分 14 分）（）证明：因为 ， ，BCA260在 中，由余弦定理可得 ，BCA3所以 2 分又因为 ， ACFB所以 平面 4 分（）解：因为 平面 ，所以 FCA因为 ，所以 平面 FCDBD5 分所以 两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系 ,CAFBxyzC6 分在等腰梯形 中，可得 ACDBD设 ，所以 1 3131(0,)(3,0)(,1)(,0),(,)22E所以 ， ， ),23(CE),(A),(B设平面 的法向量为 ，则有A=()x,yzn0,.CEAn所以 取 ，得 310,2.x 1zn(0,21)8 分设 与平
11、面 所成的角为 ，则 ，BCEA|25sin|co,CBn所以 与平面 所成角的正弦值为 BCEA59 分（）解：线段 上不存在点 ，使平面 平面 证明如下： EDQQ10 分假设线段 上存在点 ，设 ，所以 ),213(t)0(t ),213(tC设平面 的法向量为 ，则有 QBCm),(cba,.BQ所以 取 ，得 0,31.2batc 1cm)1,032(t12 分要使平面 平面 ，只需 ， EACQB0nm13 分即 ， 此方程无解20103t所以线段 上不存在点 ，使平面 平面 EDQEACQB14 分18.（本小题满分 13 分）（）解： 的定义域为 ， ()fx(0,)1 分且 1()axfx2 分 当 时， ，故 在 上单调递减0a()0fx()fx0,)从而 没有极大值，也没有极小值 )(xf3 分 当 时，令 ，得 0a()0fx1a和 的情况如下：()fxf1(,)a(,)()fx0 故 的单调减区间为 ；单调增区间为 ()f 1(,)a1(,)a从而 的极小值为 ；没有极大值 xlnf5 分（）解： 的定义域为 ，且 ()gR()e3axg6 分 当 时，显然 ，从而
