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1、北京市西城区 2013 届高三下学期(4 月)一模数学(文)试卷2013.4第卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集 ，集合 ， ，那么|UxZ2,134A0,24BUAB（A） 2,4（B） 3（C） 0,（D） 214【答案】B，所以 ，选 B.0,2,13UAB2复数 1i（A）（B） i（C） 1（D） i【答案】A，选 A.i(1)1ii3执行如图所示的程序框图若输出 ，则输入3y角 （A） 6（B） （C） 3（D） 3【答案】D由题意知 。因为 ，所以只有sin,4ta,2y
2、31y，因为 ，所以 ，选 D.tan34234设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，且 若 ，则 的取值范围naqnnS10a23Saq是（A） 1(,0),2（B）（C） (,1)(,)（D） 2【答案】B由 得 ，即 ，所以 ，解得23Sa123a211qa210q，又 ，所以 的取值范围是 ，选 B.12q0q(,0)(,5某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为 的正方形，该正三棱柱的表2面积是（A） （B ）63123（C） （D ）124【答案】C由三视图可知，正三棱柱的高为 2，底面边长为 2，所以底面积为，侧面积为 ，所以正三棱柱的表面积是 ，选 C.213311
3、236设实数 ， 满足条件 则 的最大值是xy10,2,xy4yx（A） 4（B） 12（C）（D） 7【答案】C设 ，则 。作出不等式对应的平面区域4zyxz，平移直线 ，由图象可知当直线 经过4yxz4yxz点 时，直线 的截距最大，此时 ，所以 的最大值为(1,0)B4yxz44，选 C.7已知函数 ，则“ ”是“ ，使 ”的2()fxbc00xR0()fx（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A若 ，则 ，所以 ，使 ，成立。若0c240bc0xR0()fx，使 ，则有 ，即 即可，所以当 时，0xR()fx24bc1,3cb满
4、足 ，所以“ ”是“ ，使 ”的充分不必要条件，选24b00()fA.8如图，正方体 中， 是棱 的1ABCDE1BC中点，动点 在底面 内，且 ，则PPA点 运动形成的图形是（A）线段（B）圆弧（C）椭圆 的一部分（D）抛物线的一部分【答案】B因为 ，所以点 P 的轨迹为 为球心，以 为半径的球，又 在1PAE1A1PP底面 内， 运动形成的图形是球与底面 的交线，所以为圆弧，选 B.DBC第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9已知向量 ， 若向量 与 垂直，则实数 _(1,0)i(,1)jijij【答案】0， ，因为向量 与 垂直，所
5、以(,)ij=(,)ij=ijij，解得 。(1,),2010已知函数 则 _log,(xf1()24f【答案】 74。21117()2log44f 11抛物线 的准线方程是_；该抛物线的焦点为 ，点 在此抛物线2yx F0(,)Mxy上，且 ，则 _5MF0【答案】 ；12x由 得焦点坐标为 ，准线方程为 。过 作准线的垂线yx1(,0)2F12xF交准线于 ，则 ，即 ，所以 。A5A5x012某厂对一批元件进行抽样检测经统计，这批元件的长度数据 (单位： )全部介于 至 之间m9310将长度数据以 为组距分成以下 组： ，265)， ， ， ，957)， 9)， 10)， ，得到如图所示
6、的频率分布直方图若长103,5度在 内的元件为合格品，根据频率分布直97)方图，估计这批产品的合格率是_ 【答案】 8%不合格的频率为 ，所以合格的频率为0.275+0.452=.0，所以根据频率分布直方图，估计这批产品的合格率是 。10.2 8%13在 中，内角 ， ， 的对边边长分别为 ， ， ，且 若ABCBCabcos34AbBa，则 的面积是_ c【答案】 24由 得 ，即 ，即cosbBacosAbsincosicA，所以 或 ，即 或 .因为 ，siniA22B2B34ba所以 ，即 ，所以 不成立，舍去，所以 ，即 .因为34ab C，所以 ，解得 ，所以 的面积是10c221
7、0c8,6abA。68214已知数列 的各项均为正整数，其前 项和为 若 且nannS1, ,23nna是 偶 数是 奇 数，则 _； _.329S13nS【答案】 ，57n若 是奇数，则 为偶数，所以， ，因为 ，1a21a213a329S所以 ，解得 。32339S 15若 是偶数，则 ，若 是偶数，所以 ，所以112234a，即 不是偶数，所以不成立。132314aa17若 是奇数，所以 ，所以 ，即2 132329aS不是偶数，所以不成立。1569因为 ，所以 ， ， 。所a23=18a， 456=1a， ， 7189=+4=1aa， ，以 。3568(4)(72nSn三、解答题：本大
8、题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 13 分）已知函数 的一个零点是 ()sincosfxax34（）求实数 的值； （）设 ，求 的单调递增区间 22()sigf()g16 （本小题满分 14 分）在如图所示的几何体中，面 为正方形，面 为等腰梯形， / ，CDEFABCDABCD， ， 3AC2BA（）求证： 平面 ；（）求四面体 的体积； F（）线段 上是否存在点 ，使 /平面 ？MEFD证明你的结论17 （本小题满分 13 分）某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过 小时收费1元，6超过 小时的部分每小
9、时收费 元（不足 小时的部分按 小时计算） 现有甲、乙二人在该商1811区临时停车，两人停车都不超过 小时4（）若甲停车 小时以上且不超过 小时的概率为 ，停车付费多于 元的概率为 ，12314125求甲停车付费恰为 元的概率；6（）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为 元36的概率18 （本小题满分 13 分）已知函数 ， ，其中 ()exfa()lngx0a（）求 的极值；（）若存在区间 ，使 和 在区间 上具有相同的单调性，求 的取值范M)(xfMa围19 （本小题满分 14 分）如图，已知椭圆 的左焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 两点，线段2143xyF,
10、AB的中点为 ， 的中垂线与 轴和 轴分别交于 两点ABGABxy,DE（）若点 的横坐标为 ，求直线 的斜率；4AB（）记 的面积为 ， （ 为原点）的面FD1SOE积为 试问：是否存在直线 ，使得 ？说明理由2S12S20 （本小题满分 13 分）已知集合 *12|(,),12,()n niSXxxnN 对于 ， ，定义 ；12(,)Aa BbS 12,)nABbaba； 与 之间的距离12,)(nnaR 为 1(,)|iidBb（）当 时，设 ， ，求 ；5n(1,25)A(2,413)B(,)dAB（）证明：若 ，且 ，使 ，则,nCS0AC；(,)()()dABd（）记 若 ， ，且
11、 ，求 的201,I 20S(,)(,)13dII(,)dAB最大值北京市西城区 2013 年高三一模试卷高三数学（文科）参考答案及评分标准 2013.4一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1 B； 2A； 3D ； 4B ； 5C； 6C； 7A ； 8B二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9 ； 10 ； 11 ， ； 07412x12 ； 13 ； 14 ， 8%257n注：11、14 题第一问 2 分，第二问 3 分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15 （本小题满
12、分 13 分） （）解：依题意，得 ， 3()04f1 分即 ， 32sincos04aa3 分解得 1a5 分（）解：由（）得 ()sincofxx6 分 22()singxfxsico)x8 分 2sin()410 分由 ，2kxk得 ， 38kxkZ12 分所以 的单调递增区间为 ， ()gx,13 分16 （本小题满分 14 分）（）证明：在 中，ABC因为 ， ， ，321所以 2 分又因为 ， F所以 平面 4 分ACB（）解：因为 平面 ，所以 FCA因为 ，所以 平面 DD6 分 在等腰梯形 中可得 ，所以 ABC11所以 的面积为 43S7 分所以四面体 的体积为： FBCD132FBCDVS9 分（）解：线段 上存在点 ，且 为 中点时，有 / 平面 ，证明如下：AMAEAFDM10 分连结 ，与 交于点 ，连接 CEDFN因为 为正方形，所以 为 中点 CDEFNCE11 分 所以 / AM12 分因为 平面 ， 平面 ， MNFDEFD13 分 所以 /平面 EAFDM所以线段 上存在点 ，
