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1、北京市西城区 2013 届高三下学期(4 月)一模数学(文)试卷2013.4第卷(选择题 共 40 分)一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1已知全集 ,集合 , ,那么|UxZ2,134A0,24BUAB(A) 2,4(B) 3(C) 0,(D) 214【答案】B,所以 ,选 B.0,2,13UAB2复数 1i(A)(B) i(C) 1(D) i【答案】A,选 A.i(1)1ii3执行如图所示的程序框图若输出 ,则输入3y角 (A) 6(B) (C) 3(D) 3【答案】D由题意知 。因为 ,所以只有sin,4ta,2y
2、31y,因为 ,所以 ,选 D.tan34234设等比数列 的公比为 ,前 项和为 ,且 若 ,则 的取值范围naqnnS10a23Saq是(A) 1(,0),2(B)(C) (,1)(,)(D) 2【答案】B由 得 ,即 ,所以 ,解得23Sa123a211qa210q,又 ,所以 的取值范围是 ,选 B.12q0q(,0)(,5某正三棱柱的三视图如图所示,其中正(主)视图是边长为 的正方形,该正三棱柱的表2面积是(A) (B )63123(C) (D )124【答案】C由三视图可知,正三棱柱的高为 2,底面边长为 2,所以底面积为,侧面积为 ,所以正三棱柱的表面积是 ,选 C.213311
3、236设实数 , 满足条件 则 的最大值是xy10,2,xy4yx(A) 4(B) 12(C)(D) 7【答案】C设 ,则 。作出不等式对应的平面区域4zyxz,平移直线 ,由图象可知当直线 经过4yxz4yxz点 时,直线 的截距最大,此时 ,所以 的最大值为(1,0)B4yxz44,选 C.7已知函数 ,则“ ”是“ ,使 ”的2()fxbc00xR0()fx(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】A若 ,则 ,所以 ,使 ,成立。若0c240bc0xR0()fx,使 ,则有 ,即 即可,所以当 时,0xR()fx24bc1,3cb满
4、足 ,所以“ ”是“ ,使 ”的充分不必要条件,选24b00()fA.8如图,正方体 中, 是棱 的1ABCDE1BC中点,动点 在底面 内,且 ,则PPA点 运动形成的图形是(A)线段(B)圆弧(C)椭圆 的一部分(D)抛物线的一部分【答案】B因为 ,所以点 P 的轨迹为 为球心,以 为半径的球,又 在1PAE1A1PP底面 内, 运动形成的图形是球与底面 的交线,所以为圆弧,选 B.DBC第卷(非选择题 共 110 分)二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分9已知向量 , 若向量 与 垂直,则实数 _(1,0)i(,1)jijij【答案】0, ,因为向量 与 垂直,所
5、以(,)ij=(,)ij=ijij,解得 。(1,),2010已知函数 则 _log,(xf1()24f【答案】 74。21117()2log44f 11抛物线 的准线方程是_;该抛物线的焦点为 ,点 在此抛物线2yx F0(,)Mxy上,且 ,则 _5MF0【答案】 ;12x由 得焦点坐标为 ,准线方程为 。过 作准线的垂线yx1(,0)2F12xF交准线于 ,则 ,即 ,所以 。A5A5x012某厂对一批元件进行抽样检测经统计,这批元件的长度数据 (单位: )全部介于 至 之间m9310将长度数据以 为组距分成以下 组: ,265), , , ,957), 9), 10), ,得到如图所示
6、的频率分布直方图若长103,5度在 内的元件为合格品,根据频率分布直97)方图,估计这批产品的合格率是_ 【答案】 8%不合格的频率为 ,所以合格的频率为0.275+0.452=.0,所以根据频率分布直方图,估计这批产品的合格率是 。10.2 8%13在 中,内角 , , 的对边边长分别为 , , ,且 若ABCBCabcos34AbBa,则 的面积是_ c【答案】 24由 得 ,即 ,即cosbBacosAbsincosicA,所以 或 ,即 或 .因为 ,siniA22B2B34ba所以 ,即 ,所以 不成立,舍去,所以 ,即 .因为34ab C,所以 ,解得 ,所以 的面积是10c221
7、0c8,6abA。68214已知数列 的各项均为正整数,其前 项和为 若 且nannS1, ,23nna是 偶 数是 奇 数,则 _; _.329S13nS【答案】 ,57n若 是奇数,则 为偶数,所以, ,因为 ,1a21a213a329S所以 ,解得 。32339S 15若 是偶数,则 ,若 是偶数,所以 ,所以112234a,即 不是偶数,所以不成立。132314aa17若 是奇数,所以 ,所以 ,即2 132329aS不是偶数,所以不成立。1569因为 ,所以 , , 。所a23=18a, 456=1a, , 7189=+4=1aa, ,以 。3568(4)(72nSn三、解答题:本大
8、题共 6 小题,共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 (本小题满分 13 分)已知函数 的一个零点是 ()sincosfxax34()求实数 的值; ()设 ,求 的单调递增区间 22()sigf()g16 (本小题满分 14 分)在如图所示的几何体中,面 为正方形,面 为等腰梯形, / ,CDEFABCDABCD, , 3AC2BA()求证: 平面 ;()求四面体 的体积; F()线段 上是否存在点 ,使 /平面 ?MEFD证明你的结论17 (本小题满分 13 分)某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超过 小时收费1元,6超过 小时的部分每小
9、时收费 元(不足 小时的部分按 小时计算) 现有甲、乙二人在该商1811区临时停车,两人停车都不超过 小时4()若甲停车 小时以上且不超过 小时的概率为 ,停车付费多于 元的概率为 ,12314125求甲停车付费恰为 元的概率;6()若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为 元36的概率18 (本小题满分 13 分)已知函数 , ,其中 ()exfa()lngx0a()求 的极值;()若存在区间 ,使 和 在区间 上具有相同的单调性,求 的取值范M)(xfMa围19 (本小题满分 14 分)如图,已知椭圆 的左焦点为 ,过点 的直线交椭圆于 两点,线段2143xyF,
10、AB的中点为 , 的中垂线与 轴和 轴分别交于 两点ABGABxy,DE()若点 的横坐标为 ,求直线 的斜率;4AB()记 的面积为 , ( 为原点)的面FD1SOE积为 试问:是否存在直线 ,使得 ?说明理由2S12S20 (本小题满分 13 分)已知集合 *12|(,),12,()n niSXxxnN 对于 , ,定义 ;12(,)Aa BbS 12,)nABbaba; 与 之间的距离12,)(nnaR 为 1(,)|iidBb()当 时,设 , ,求 ;5n(1,25)A(2,413)B(,)dAB()证明:若 ,且 ,使 ,则,nCS0AC;(,)()()dABd()记 若 , ,且
11、 ,求 的201,I 20S(,)(,)13dII(,)dAB最大值北京市西城区 2013 年高三一模试卷高三数学(文科)参考答案及评分标准 2013.4一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.1 B; 2A; 3D ; 4B ; 5C; 6C; 7A ; 8B二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9 ; 10 ; 11 , ; 07412x12 ; 13 ; 14 , 8%257n注:11、14 题第一问 2 分,第二问 3 分.三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分. 15 (本小题满
12、分 13 分) ()解:依题意,得 , 3()04f1 分即 , 32sincos04aa3 分解得 1a5 分()解:由()得 ()sincofxx6 分 22()singxfxsico)x8 分 2sin()410 分由 ,2kxk得 , 38kxkZ12 分所以 的单调递增区间为 , ()gx,13 分16 (本小题满分 14 分)()证明:在 中,ABC因为 , , ,321所以 2 分又因为 , F所以 平面 4 分ACB()解:因为 平面 ,所以 FCA因为 ,所以 平面 DD6 分 在等腰梯形 中可得 ,所以 ABC11所以 的面积为 43S7 分所以四面体 的体积为: FBCD132FBCDVS9 分()解:线段 上存在点 ,且 为 中点时,有 / 平面 ,证明如下:AMAEAFDM10 分连结 ,与 交于点 ,连接 CEDFN因为 为正方形,所以 为 中点 CDEFNCE11 分 所以 / AM12 分因为 平面 , 平面 , MNFDEFD13 分 所以 /平面 EAFDM所以线段 上存在点 ,