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1、北京市西城区 2013 届高三下学期(4 月)一模数学(文)试卷2013.4第卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集 ，集合 ， ，那么|UxZ2,134A0,24BUAB（A） 2,4（B） ,（C） ,（D） 2,1342复数 1i（A） （B） 1i（C） 1i（D） 1i3执行如图所示的程序框图若输出 ，则输入3y角 （A） 6（B） （C） 3（D） 4设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，且 若 ，则 的取值范围是naqnnS10a23Saq（A） 1(,0),2（B） (,)
2、(,1（C） ()（D） )25某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为 的正方形，该正三棱柱的表2面积是（A） （B ）63123（C） （D ）1246设实数 ， 满足条件 则 的最大值是xy10,2,xy4yx（A） 4（B） （C） （D） 77已知函数 ，则“ ”是“ ，使 ”的2()fxbc00xR0()fx（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件8如图，正方体 中， 是棱 的1ABCDE1BC中点，动点 在底面 内，且 ，则PPA点 运动形成的图形是（A）线段 （B）圆弧（C）椭圆的一部分 （D）抛物线的一部分第卷（
3、非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9已知向量 ， 若向量 与 垂直，则实数 _(1,0)i(,1)jijij10已知函数 则 _2log,0()xf()24f11抛物线 的准线方程是_；该抛物线的焦点为 ，点 在此抛物线2yx F0(,)Mxy上，且 ，则 _5MF012某厂对一批元件进行抽样检测经统计，这批元件的长度数据 (单位： )全部介于 至 之间m93105将长度数据以 为组距分成以下 组： ，26)， ， ， ，957)， 9)， 10)， ，得到如图所示的频率分布直方图若长103,度在 内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这
4、批产品的合格率是_ 13在 中，内角 ， ， 的对边边长分别为 ， ， ，且 若ABCBCabcos34AbBa，则 的面积是_ 10c14已知数列 的各项均为正整数，其前 项和为 若 且nannS1, ,23nnaa是 偶 数是 奇 数，329S则 _； _.1a3nS三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 13 分）已知函数 的一个零点是 ()sincosfxax34（）求实数 的值； （）设 ，求 的单调递增区间 22()sigf()g16 （本小题满分 14 分）在如图所示的几何体中，面 为正方形，面 为等腰梯形， /
5、 ，CDEFABCDABCD， ， 3AC2BA（）求证： 平面 ；（）求四面体 的体积； F（）线段 上是否存在点 ，使 /平面 ？MEFD证明你的结论17 （本小题满分 13 分）某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过 小时收费1元，6超过 小时的部分每小时收费 元（不足 小时的部分按 小时计算） 现有甲、乙二人在该商1811区临时停车，两人停车都不超过 小时4（）若甲停车 小时以上且不超过 小时的概率为 ，停车付费多于 元的概率为 ，12314125求甲停车付费恰为 元的概率；6（）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为 元36的概
6、率18 （本小题满分 13 分）已知函数 ， ，其中 ()exfa()lngx0a（）求 的极值；（）若存在区间 ，使 和 在区间 上具有相同的单调性，求 的取值范M)(xfMa围19 （本小题满分 14 分）如图，已知椭圆 的左焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 两点，线段2143xyF,AB的中点为 ， 的中垂线与 轴和 轴分别交于 两点ABGABxy,DE（）若点 的横坐标为 ，求直线 的斜率；4AB（）记 的面积为 ， （ 为原点）的面FD1SOE积为 试问：是否存在直线 ，使得 ？说明理由2S12S20 （本小题满分 13 分）已知集合 *12|(,),12,()n niSXxxnN 对
7、于 ， ，定义 ；12(,)Aa BbS 12,)nABbaba； 与 之间的距离12,)(nnaR 为 1(,)|iidBb（）当 时，设 ， ，求 ；5n(1,25)A(2,413)B(,)dAB（）证明：若 ，且 ，使 ，则,nCS0AC；(,)()()dABd（）记 若 ， ，且 ，求 的201,I 20S(,)(,)13dII(,)dAB最大值北京市西城区 2013 年高三一模试卷高三数学（文科）参考答案及评分标准 2013.4一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1 B； 2A； 3D ； 4B ； 5C； 6C； 7A ； 8B二、填空题：本大题共 6 小
8、题，每小题 5 分，共 30 分. 9 ； 10 ； 11 ， ； 07412x12 ； 13 ； 14 ， 8%257n注：11、14 题第一问 2 分，第二问 3 分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15 （本小题满分 13 分） （）解：依题意，得 ， 3()04f1 分即 ， 32sincos04aa3 分解得 1a5 分（）解：由（）得 ()sincofxx6 分 22()singxfx22(sinco)sinxx8 分 2sin()4x10 分由 ，2kk得 ， 38kxkZ12 分所以 的单调递增区间为 ， ()
9、gx,13 分16 （本小题满分 14 分）（）证明：在 中，ABC因为 ， ， ，321所以 2 分又因为 ， F所以 平面 4 分ACB（）解：因为 平面 ，所以 FCA因为 ，所以 平面 DD6 分 在等腰梯形 中可得 ，所以 ABC11所以 的面积为 43S7 分所以四面体 的体积为： FBCD132FBCDVS9 分（）解：线段 上存在点 ，且 为 中点时，有 / 平面 ，证明如下：AMAEAFDM10 分连结 ，与 交于点 ，连接 CEDFNM因为 为正方形，所以 为 中点 CDEFNCE11 分 所以 / AM12 分因为 平面 ， 平面 ， MNFDEFD13 分 所以 /平面
10、 EAFDM所以线段 上存在点 ，使得 /平面 成立 CEA14 分17 （本小题满分 13 分）（）解：设“甲临时停车付费恰为 元”为事件 ， 6A1 分则 41)253()AP所以甲临时停车付费恰为 元的概率是 64 分（）解：设甲停车付费 元，乙停车付费 元，其中 ab,614,230a6 分则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：(,)14,(2),630,(14),(142),30,(26),14,(2),，共 种情形 2,30,6,610 分其中， 这 种情形符合题意 (,)14,2(,)30,412 分故“甲、乙二人停车付费之和为 元”的概率为 6164P13 分18.（本小
11、题满分 13 分）（）解： 的定义域为 ， 且 ()fxR()exfa2 分 当 时， ，故 在 上单调递增0a()exf()f从而 没有极大值，也没有极小值 )(xf4 分 当 时，令 ，得 0a()0fxln()a和 的情况如下： ()fxf(,ln)al()l(),)f 0(x 故 的单调减区间为 ；单调增区间为 )f(,ln)a(ln),a从而 的极小值为 ；没有极大值 (xl()f6 分（）解： 的定义域为 ，且 ()g(0,)1()axgx8 分 当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递减，不合题意a()fxR()gx0,)9 分 当 时， ， 在 上单调递减0a()0gx(),)当 时， ，此时 在 上单调递增，由于 在1lnafx(ln,)a()gx上单调递减，不合题意 (0,)11 分当 时， ，此时 在 上单调递减，由于 在1aln()0a()fx,ln()a()fx上单调递减，符合题意 (0,)综上， 的取值范围是 a(,1
