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1、北京市西城区 2013 届高三下学期(4 月)一模数学(文)试卷2013.4第卷(选择题 共 40 分)一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1已知全集 ,集合 , ,那么|UxZ2,134A0,24BUAB(A) 2,4(B) ,(C) ,(D) 2,1342复数 1i(A) (B) 1i(C) 1i(D) 1i3执行如图所示的程序框图若输出 ,则输入3y角 (A) 6(B) (C) 3(D) 4设等比数列 的公比为 ,前 项和为 ,且 若 ,则 的取值范围是naqnnS10a23Saq(A) 1(,0),2(B) (,)
2、(,1(C) ()(D) )25某正三棱柱的三视图如图所示,其中正(主)视图是边长为 的正方形,该正三棱柱的表2面积是(A) (B )63123(C) (D )1246设实数 , 满足条件 则 的最大值是xy10,2,xy4yx(A) 4(B) (C) (D) 77已知函数 ,则“ ”是“ ,使 ”的2()fxbc00xR0()fx(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件8如图,正方体 中, 是棱 的1ABCDE1BC中点,动点 在底面 内,且 ,则PPA点 运动形成的图形是(A)线段 (B)圆弧(C)椭圆的一部分 (D)抛物线的一部分第卷(
3、非选择题 共 110 分)二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分9已知向量 , 若向量 与 垂直,则实数 _(1,0)i(,1)jijij10已知函数 则 _2log,0()xf()24f11抛物线 的准线方程是_;该抛物线的焦点为 ,点 在此抛物线2yx F0(,)Mxy上,且 ,则 _5MF012某厂对一批元件进行抽样检测经统计,这批元件的长度数据 (单位: )全部介于 至 之间m93105将长度数据以 为组距分成以下 组: ,26), , , ,957), 9), 10), ,得到如图所示的频率分布直方图若长103,度在 内的元件为合格品,根据频率分布直方图,估计这
4、批产品的合格率是_ 13在 中,内角 , , 的对边边长分别为 , , ,且 若ABCBCabcos34AbBa,则 的面积是_ 10c14已知数列 的各项均为正整数,其前 项和为 若 且nannS1, ,23nnaa是 偶 数是 奇 数,329S则 _; _.1a3nS三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 (本小题满分 13 分)已知函数 的一个零点是 ()sincosfxax34()求实数 的值; ()设 ,求 的单调递增区间 22()sigf()g16 (本小题满分 14 分)在如图所示的几何体中,面 为正方形,面 为等腰梯形, /
5、 ,CDEFABCDABCD, , 3AC2BA()求证: 平面 ;()求四面体 的体积; F()线段 上是否存在点 ,使 /平面 ?MEFD证明你的结论17 (本小题满分 13 分)某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超过 小时收费1元,6超过 小时的部分每小时收费 元(不足 小时的部分按 小时计算) 现有甲、乙二人在该商1811区临时停车,两人停车都不超过 小时4()若甲停车 小时以上且不超过 小时的概率为 ,停车付费多于 元的概率为 ,12314125求甲停车付费恰为 元的概率;6()若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为 元36的概
6、率18 (本小题满分 13 分)已知函数 , ,其中 ()exfa()lngx0a()求 的极值;()若存在区间 ,使 和 在区间 上具有相同的单调性,求 的取值范M)(xfMa围19 (本小题满分 14 分)如图,已知椭圆 的左焦点为 ,过点 的直线交椭圆于 两点,线段2143xyF,AB的中点为 , 的中垂线与 轴和 轴分别交于 两点ABGABxy,DE()若点 的横坐标为 ,求直线 的斜率;4AB()记 的面积为 , ( 为原点)的面FD1SOE积为 试问:是否存在直线 ,使得 ?说明理由2S12S20 (本小题满分 13 分)已知集合 *12|(,),12,()n niSXxxnN 对
7、于 , ,定义 ;12(,)Aa BbS 12,)nABbaba; 与 之间的距离12,)(nnaR 为 1(,)|iidBb()当 时,设 , ,求 ;5n(1,25)A(2,413)B(,)dAB()证明:若 ,且 ,使 ,则,nCS0AC;(,)()()dABd()记 若 , ,且 ,求 的201,I 20S(,)(,)13dII(,)dAB最大值北京市西城区 2013 年高三一模试卷高三数学(文科)参考答案及评分标准 2013.4一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.1 B; 2A; 3D ; 4B ; 5C; 6C; 7A ; 8B二、填空题:本大题共 6 小
8、题,每小题 5 分,共 30 分. 9 ; 10 ; 11 , ; 07412x12 ; 13 ; 14 , 8%257n注:11、14 题第一问 2 分,第二问 3 分.三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分. 15 (本小题满分 13 分) ()解:依题意,得 , 3()04f1 分即 , 32sincos04aa3 分解得 1a5 分()解:由()得 ()sincofxx6 分 22()singxfx22(sinco)sinxx8 分 2sin()4x10 分由 ,2kk得 , 38kxkZ12 分所以 的单调递增区间为 , ()
9、gx,13 分16 (本小题满分 14 分)()证明:在 中,ABC因为 , , ,321所以 2 分又因为 , F所以 平面 4 分ACB()解:因为 平面 ,所以 FCA因为 ,所以 平面 DD6 分 在等腰梯形 中可得 ,所以 ABC11所以 的面积为 43S7 分所以四面体 的体积为: FBCD132FBCDVS9 分()解:线段 上存在点 ,且 为 中点时,有 / 平面 ,证明如下:AMAEAFDM10 分连结 ,与 交于点 ,连接 CEDFNM因为 为正方形,所以 为 中点 CDEFNCE11 分 所以 / AM12 分因为 平面 , 平面 , MNFDEFD13 分 所以 /平面
10、 EAFDM所以线段 上存在点 ,使得 /平面 成立 CEA14 分17 (本小题满分 13 分)()解:设“甲临时停车付费恰为 元”为事件 , 6A1 分则 41)253()AP所以甲临时停车付费恰为 元的概率是 64 分()解:设甲停车付费 元,乙停车付费 元,其中 ab,614,230a6 分则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为:(,)14,(2),630,(14),(142),30,(26),14,(2),,共 种情形 2,30,6,610 分其中, 这 种情形符合题意 (,)14,2(,)30,412 分故“甲、乙二人停车付费之和为 元”的概率为 6164P13 分18.(本小
11、题满分 13 分)()解: 的定义域为 , 且 ()fxR()exfa2 分 当 时, ,故 在 上单调递增0a()exf()f从而 没有极大值,也没有极小值 )(xf4 分 当 时,令 ,得 0a()0fxln()a和 的情况如下: ()fxf(,ln)al()l(),)f 0(x 故 的单调减区间为 ;单调增区间为 )f(,ln)a(ln),a从而 的极小值为 ;没有极大值 (xl()f6 分()解: 的定义域为 ,且 ()g(0,)1()axgx8 分 当 时, 在 上单调递增, 在 上单调递减,不合题意a()fxR()gx0,)9 分 当 时, , 在 上单调递减0a()0gx(),)当 时, ,此时 在 上单调递增,由于 在1lnafx(ln,)a()gx上单调递减,不合题意 (0,)11 分当 时, ,此时 在 上单调递减,由于 在1aln()0a()fx,ln()a()fx上单调递减,符合题意 (0,)综上, 的取值范围是 a(,1