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1、普通高等学校招生全国统一考试数学真题绝密 启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)(本试卷共4页,22小题,满分150分,考试用时120分钟)选择题部分(共40分)一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合P=x|1x4,Q=x|2x3,则PQ=()A.x|1x2B.x|2x3C.x|3x4D.x|1x42.已知aR,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=()A.1B.-1C.2D.-23.若实数x,y满足约束条件x-3y+10,x+y-30,则z=x+2y的取值范围是()A.(-,4B.4
2、,+)C.5,+)D.(-,+)4.函数y=xcos x+sin x在区间-,上的图象可能是()5.某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.73B.143C.3D.66.已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知等差数列an的前n项和为Sn,公差d0,且a1d1.记b1=S2,bn+1=S2n+2-S2n,nN*,下列等式不可能成立的是()A.2a4=a2+a6B.2b4=b2+b6C.a42=a2a8D.b42=b2b8
3、8.已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=34-x2图象上的点,则|OP|=()A.222B.4105C.7D.109.已知a,bR且ab0,对于任意x0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)0,则()A.a0C.b010.设集合S,T,SN*,TN*,S,T中至少有2个元素,且S,T满足:对于任意的x,yS,若xy,则xyT;对于任意的x,yT,若x0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k=;b=.16.盒中有4个球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球.从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直到取出红球为止.设此过
4、程中取到黄球的个数为,则P(=0)=;E()=.17.已知平面单位向量e1,e2满足|2e1-e2|2,设a=e1+e2,b=3e1+e2,向量a,b的夹角为,则cos2的最小值是.三、解答题:本大题共5小题,共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.(14分)在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2bsin A-3a=0.(1)求角B的大小;(2)求cos A+cos B+cos C的取值范围.19.(15分)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面ACFD平面ABC,ACB=ACD=45,DC=2BC.(1)证明:EFDB;(2)求直线DF与平面DBC所成角的
5、正弦值.20.(15分)已知数列an,bn,cn满足a1=b1=c1=1,cn=an+1-an,cn+1=bnbn+2cn,nN*.(1)若bn为等比数列,公比q0,且b1+b2=6b3,求q的值及数列an的通项公式;(2)若bn为等差数列,公差d0,证明:c1+c2+cn0),点A是椭圆C1与抛物线C2的交点,过点A的直线l交椭圆C1于点B,交抛物线C2于M(B,M不同于A).(1)若p=116,求抛物线C2的焦点坐标;(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值.22.(15分)已知1a2,函数f(x)=ex-x-a,其中e=2.718 28是自然对数的底数.(1)证明:
6、函数y=f(x)在(0,+)上有唯一零点;(2)记x0为函数y=f(x)在(0,+)上的零点,证明:a-1x02(a-1);x0f(ex0)(e-1)(a-1)a.2020年数学(浙江卷)1.B根据交集的定义直接得到运算结果PQ=x|2x0,所以排除B.故选A.5.A如图,几何体是上下结构,下面是三棱柱,底面是等腰直角三角形,斜边为2,高为1,三棱柱的高是2,上面是三棱锥,平面DA1C1平面A1B1C1,且DA1=DC1,三棱锥的高是1,故几何体的体积V=12212+1312211=73.6.B由条件可知,当m,n,l在同一平面内时,三条直线不一定两两相交,有可能两条直线平行;或三条直线平行;
7、反过来,当空间中不过同一点的三条直线m,n,l两两相交时,如图,三个不同的交点确定一个平面,则m,n,l在同一平面内,所以“m,n,l”共面是“m,n,l两两相交”的必要不充分条件.故选B.7.DA.由等差数列的性质可知2a4=a2+a6,故A成立;B.b4=S8-S6=a7+a8,b2=S4-S2=a3+a4,b6=S12-S10=a11+a12,若2b4=b2+b6,则2(a7+a8)=a3+a4+a11+a12.因为7+8=3+12=4+11,所以2(a7+a8)=a3+a4+a11+a12=2(a7+a8)成立,故B成立;C.a42=a2a8(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d)
8、,整理可得a1=d,故C可能成立;D.b8=S16-S14=a15+a16,当b42=b2b8时,(a7+a8)2=(a3+a4)(a15+a16),(2a1+13d)2=(2a1+5d)(2a1+29d),整理为2a1=3d,这与已知a1d1矛盾,故D不可能成立.综上可知,等式不可能成立的是D.故选D.8.D由条件可知点P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,并且c=2,a=1,所以b2=3,双曲线方程为x2-y23=1(x0).又点P为函数y=34-x2图象上的点,联立方程x2-y23=1(x0),y=34-x2,解得x2=134,y2=274.所以|OP|=x2+y2=10.故选D.9.C当
9、a0时,在x0上,x-a0恒成立,所以只需满足(x-b)(x-2a-b)0恒成立,此时2a+bb,由二次函数的图象可知,只有b0不满足条件;当b0时,此时0a2a+b,当x0时,(x-a)(x-2a-b)0不恒成立;(2)当a+b0时,此时2a+ba,若满足(x-a)(x-2a-b)0恒成立,只需满足a0,满足(x-a)(x-2a-b)0恒成立.综上可知,满足(x-a)(x-b)(x-2a-b)0在x0恒成立时,只有b0.故选C.10.A当集合S中有3个元素时,若S=1,2,4,则T=2,4,8,ST中有4个元素;若S=2,4,8,则T=8,16,32,ST中有5个元素,故排除C,D;当集合S
10、中有4个元素时,若S=2,4,8,16,则T=8,16,32,64,128,ST=2,4,8,16,32,64,128,包含7个元素,排除选项B.下面来说明选项A的正确性:设集合S=a1,a2,a3,a4,且a1a2a3a4,a1,a2,a3,a4N*,则a1a2a4a2a4a3.若a1=1,则a22,a2a1=a2,则a3a2a3,故a3a2=a2,即a3=a22,a4a3=a2,则a4=a3a2=a23.故S=1,a2,a22,a23,此时a2,a22,a23,a24,a25T,可得a25a2=a24S,这与a24S矛盾,故舍去.若 a12,则a2a1a3a1a4a1a4a2a4a31,故
11、a4a3=a4a13=a1,所以a4=a14,故S=a1,a12,a13,a14,此时a13,a14,a15,a16,a17T.若bT,不妨设ba13,则ba13S,故ba13=a1i,i=1,2,3,4,故b=a1i+3,i=1,2,3,4,即ba13,a14,a15,a16,a17,其他情况同理可证.故a13,a14,a15,a16,a17=T,此时ST=a1,a12,a13,a14,a15,a16,a17,即ST中有7个元素.故A正确.11.10令an=n(n+1)2,则a1=122=1,a2=232=3,a3=342=6,S3=1+3+6=10.故答案为10.12.80122由题意可知a4表示x4的系数,即a4=C542
