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1、普通高等学校招生全国统一考试数学真题2014年普通高等学校招生全国统一考试综合能力测试数学试题(江苏卷)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.(2014江苏,1)已知集合A=-2,-1,3,4,B=-1,2,3,则AB=.答案:-1,3解析:由题意,得AB=-1,3.2.(2014江苏,2)已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为.答案:21解析:由题意,得z=(5+2i)2=25+20i-4=21+20i,其实部为21.3.(2014江苏,3)下图是一个算法流程图,则输出的n的值是.答案:5解析:本题实质上是求不等式2n20
2、的最小整数解,2n20的整数解为n5,因此输出的n=5.4.(2014江苏,4)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是.答案:13解析:从1,2,3,6这4个数中随机地取2个数,不同的取法为1,2,1,3,1,6,2,3,2,6,3,6共6个基本事件,其中乘积为6的有1,6,2,3两个基本事件,因此所求事件的概率为P=26=13.5.(2014江苏,5)已知函数y=cos x与y=sin(2x+)(0),它们的图象有一个横坐标为3的交点,则的值是.答案:6解析:由题意cos3=sin23+,即sin23+=12,23+=k+(-1)k6(kZ).因为0,所
3、以=6.6.(2014江苏,6)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间80,130上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有株树木的底部周长小于100 cm.答案:24解析:由题意,在抽测的60株树木中,底部周长小于100 cm的株数为(0.015+0.025)1060=24.7.(2014江苏,7)在各项均为正数的等比数列an中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.答案:4解析:设公比为q,则由a8=a6+2a4,得a1q7=a1q5+2a1q3,q4-q2-2=0,解得q2=2(q2=-1舍去),所以a6=a
4、2q4=4.8.(2014江苏,8)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且S1S2=94,则V1V2的值是.答案:32解析:设甲、乙两个圆柱底面半径和高分别为r1,h1,r2,h2,则2r1h1=2r2h2,h1h2=r2r1.又S1S2=r12r22=94,所以r1r2=32,则V1V2=r12h1r22h2=r12r22h1h2=r1r2=32.9.(2014江苏,9)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为.答案:2555解析:圆(x-2)2+(y+1)2=4的圆心为C(2,-1),半径r
5、=2,圆心C到直线x+2y-3=0的距离为d=|2+2(-1)-3|12+22=35,所求弦长l=2r2-d2=24-95=2555.10.(2014江苏,10)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意xm,m+1,都有f(x)0成立,则实数m的取值范围是.答案:-22,0解析:根据题意,得f(m)=m2+m2-10,f(m+1)=(m+1)2+m(m+1)-10,解得-22mb0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连结BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F1C.(1)若点C的坐标为43,13,且BF2=2,求椭圆的方程;(2)若F1CAB,求椭圆离心率
6、e的值.分析:(1)利用椭圆的几何性质可得BF2=a=2,再把点C的坐标代入即可求出椭圆方程;(2)写出B,F2的坐标,用b,c表示直线AB的方程,联立椭圆方程表示出点A的坐标,利用点A与点C的对称性,表示出点C的坐标,利用直线F1C的斜率及kF1CkAB=-1建立a,b,c的关系,再结合平方关系求离心率.解:设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).(1)因为B(0,b),所以BF2=b2+c2=a.又BF2=2,故a=2.因为点C43,13在椭圆上,所以169a2+19b2=1.解得b2=1.故所求椭圆的方程为x22+y2=1.(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB
7、上,所以直线AB的方程为xc+yb=1.解方程组xc+yb=1,x2a2+y2b2=1,得x1=2a2ca2+c2,y1=b(c2-a2)a2+c2,x2=0,y2=b.所以点A的坐标为2a2ca2+c2,b(c2-a2)a2+c2.又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为2a2ca2+c2,b(a2-c2)a2+c2.因为直线F1C的斜率为b(a2-c2)a2+c2-02a2ca2+c2-(-c)=b(a2-c2)3a2c+c3,直线AB的斜率为-bc,且F1CAB,所以b(a2-c2)3a2c+c3-bc=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=15.因此e=55.
8、18.(本小题满分16分)(2014江苏,18)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tanBCO=43.(1)求新桥BC的长;(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?分析:法一:(1)运用坐标法求BC的长,由已知建立以O为坐标原点,OC所在直线为x轴的直角坐标系.设出点B坐标,利用A,C坐标分别表示出kAB,kBC,建立方程组求出点B坐标,利用两点间的距离公式求解即可;(2)求圆形保护区的最大面积,即求圆的最大半径.由条件知,可转化为求点M到直线BC距离的最大值.由(1)可先求出直线BC的方程,设点M的坐标为(0,d),则半径r可用d表示,利用已知和r,d的关系求出d的范围,就可求出r的最大值,即可求圆形保护区面积的最大值.法二:(1)延长CB,OA交于点F,在OCF中,利用条件求OF,CF.利用AF=OF-OA求AF的长,再借助AFB+OCF=90的关系,在ABF中,求出BF的长,进而利用CB=CF-BF求值;(2)设MD=r m(半径),OM=d m,在MDF中,利用sinCFO建立r,d的关系,利用已
