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1、普通高等学校招生全国统一考试数学真题绝密 启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2019浙江,1)已知全集U=-1,0,1,2,3,集合A=0,1,2,B=-1,0,1,则(UA)B=()A.-1B.0,1C.-1,2,3D.-1,0,1,3解析UA=-1,3,则(UA)B=-1.答案A2.(2019浙江,2)渐近线方程为xy=0的双曲线的离心率是()A.22B.1C.2D.2解析因为双曲线的渐近线方程为xy=0,所以a=b=1.所以c=a2+
2、b2=2,双曲线的率心率e=ca=2.答案C3.(2019浙江,3)若实数x,y满足约束条件x-3y+40,3x-y-40,x+y0,则z=3x+2y的最大值是()A.-1B.1C.10D.12解析在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界),由图易得当直线z=3x+2y经过平面区域内的点(2,2)时,z=3x+2y取得最大值zmax=32+22=10.答案C4.(2019浙江,4)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱
3、体的底面积,h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm3)是()A.158B.162C.182D.324解析由三视图得该棱柱的高为6,底面五边形可以看作是由两个直角梯形组合而成,其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3,则该棱柱的体积为2+623+4+6236=162.答案B5.(2019浙江,5)设a0,b0,则“a+b4”是“ab4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析当a0,b0时,a+b2ab,若a+b4,则2aba+b4,所以ab4,充分性成立;当a=1,b=4时,满
4、足ab4,但此时a+b=54,必要性不成立.综上所述,“a+b4”是“ab4”的充分不必要条件.答案A6.(2019浙江,6)在同一直角坐标系中,函数y=1ax,y=logax+12(a0,且a1)的图象可能是()解析当0a1时,函数y=ax的图象过定点(0,1)且单调递增,则函数y=1ax的图象过定点(0,1)且单调递减,函数y=logax+12的图象过定点12,0且单调递增,各选项均不符合.故选D.答案D7.(2019浙江,7)设0a1.随机变量X的分布列是X0a1P131313则当a在(0,1)内增大时,()A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大
5、解析由分布列得E(X)=1+a3,则D(X)=1+a3-0213+1+a3-a213+1+a3-1213=29a-122+16,所以当a在(0,1)内增大时,D(X)先减小后增大.答案D8.(2019浙江,8)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为,直线PB与平面ABC所成的角为,二面角P-AC-B的平面角为,则()A.,B.,C.,D.,解析如图G为AC中点,点V在底面ABC上的投影为点O,则点P在底面ABC上的投影点D在线段AO上,过点D作DE垂直AE,易得PEVG,过点P作PFAC交VG于点F,过点D作DHAC,交B
6、G于点H,则=BPF,=PBD,=PED,所以cos =PFPB=EGPB=DHPB,因为tan =PDEDPDBD=tan ,所以.故选B.答案B9.(2019浙江,9)设a,bR,函数f(x)=x,x0,13x3-12(a+1)x2+ax,x0.若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点,则()A.a-1,b0B.a0C.a-1,b-1,b0解析当x0时,由x=ax+b,得x=b1-a,最多一个零点取决于x=b1-a与0的大小,所以关键研究当x0时,方程13x3-12(a+1)x2+ax=ax+b的解的个数,令b=13x3-12(a+1)x2=13x2x-32(a+1)=g(x).画出三次函
7、数g(x)的图象如图所示,可以发现分类讨论的依据是32(a+1)与0的大小关系.若32(a+1)0,即a0,即a-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=32(a+1)为奇重零点穿过,当b0时g(x)与y=b可以有两个交点,且此时要求x=b1-a0,故-1a1,b10B.当b=14时,a1010C.当b=-2时,a1010D.当b=-4时,a1010解析当b=12时,a2=a12+1212,a3=a22+1234,a4=a32+1217161,当n4时,an+1=an2+12an21,则log1716an+12log1716anlog1716an+12n-1,则an+117162n-1(n4),则a
8、10171626=1+11664=1+6416+646321162+1+4+710,故选A.答案A非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11.(2019浙江,11)复数z=11+i(i为虚数单位),则|z|=.解析|z|=1|1+i|=12=22.答案2212.(2019浙江,12)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=,r=.解析由题意知kAC=-12AC:y+1=-12(x+2),把(0,m)代入得m=-2,此时r=|AC|=4+1=5.答案-2513.(2019浙江
9、,13)在二项式(2+x)9的展开式中,常数项是,系数为有理数的项的个数是.解析(2+x)9的通项为Tr+1=C9r(2)9-rxr(r=0,1,2,9),可得常数项为T1=C90(2)9=162.因为系数为有理数,所以r=1,3,5,7,9,即T2,T4,T6,T8,T10的系数为有理数,共5个.答案162514.(2019浙江,14)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若BDC=45,则BD=,cosABD=.解析如图所示,设CD=x,DBC=,则AD=5-x,ABD=2-,在BDC中,由正弦定理得3sin4=xsin=32sin =x32.在ABD中,由正弦定
10、理得5-xsin(2-)=4sin34=42cos =5-x42.由sin2+cos2=x218+(5-x)232=1,解得x1=-35(舍去),x2=215BD=1225.在ABD中,由正弦定理得0.8sinABD=4sin(-4)sinABD=210cosABD=7210.答案1225721015.(2019浙江,15)已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率是.解析如图,设PF的中点为M,椭圆的右焦点为F1.由题意可知|OF|=|OM|=c=2,由中位线定理可得|PF1|=2|OM|=4,
11、设P(x,y)可得(x-2)2+y2=16,与椭圆方程x29+y25=1联立,解得x=-32,x=212(舍),因为点P在椭圆上且在x轴的上方,所以P-32,152,所以kPF=15212=15.答案1516.(2019浙江,16)已知aR,函数f(x)=ax3-x.若存在tR,使得|f(t+2)-f(t)|23,则实数a的最大值是.解析由题意知,|f(t+2)-f(t)|=|a(6t2+12t+8)-2|23有解,即-23a(6t2+12t+8)-223有解,所以43(6t2+12t+8)a83(6t2+12t+8)有解,因为6t2+12t+82,+),所以43(6t2+12t+8)0,23
12、,83(6t2+12t+8)0,43,所以只需要0a43,即amax=43.答案4317.(2019浙江,17)已知正方形ABCD的边长为1.当每个i(i=1,2,3,4,5,6)取遍1时,|1AB+2BC+3CD+4DA+5AC+6BD|的最小值是,最大值是.解析(基向量处理)1AB+2BC+3CD+4DA+5AC+6BD=(1-3+5-6)AB+(2-4+5+6)AD,要使|1AB+2BC+3CD+4DA+5AC+6BD|的最小,只需要|1-3+5-6|=|2-4+5+6|=0,此时只需要取1=1,2=-1,3=1,4=1,5=1,6=1,此时|1AB+2BC+3CD+4DA+5AC+6B
13、D|min=0,由于5AC+6BD=2AB或2AD,取其中的一种5AC+6BD=2AB讨论(其他三种类同),此时1AB+2BC+3CD+4DA+5AC+6BD=(1-3+2)AB+(2-4)AD,要使|1AB+2BC+3CD+4DA+5AC+6BD|的最大,只需要使|1-3+2|,|2-4|最大,取1=1,2=1,3=-1,4=-1,此时|1AB+2BC+3CD+4DA+5AC+6BD|=|4AB+2AD|=25,综合几种情况可得|1AB+2BC+3CD+4DA+5AC+6BD|max=25.答案025三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本题满分14分)(2019浙江,18)设函数f(x)=sin x,xR.(1)已知0,2),函数f(x+)是偶函数,求的值;(2)求函数y=fx+122+fx+42的值域.解(1)因为f(x+)=sin(x+)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+)=sin(-x+),即sin xcos +cos xsin =-sin xcos
