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1、普通高等学校招生全国统一考试数学真题2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国)数学(文科)第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014课标全国,文1)已知集合A=-2,0,2,B=x|x2-x-2=0,则AB=(). A.B.2C.0D.-2答案:B解析:易得B=-1,2,则AB=2,故选B.2.(2014课标全国,文2)1+3i1-i=().A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i答案:B解析:1+3i1-i=(1+3i)(1+i)(1-i)(1+i)=-2+4i2=-1+2i,故选B.3.(2014课标
2、全国,文3)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则().A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件答案:C解析:由于qp,则p是q的必要条件;而pq,如f(x)=x3在x=0处f(0)=0,而x=0不是极值点,故选C.4.(2014课标全国,文4)设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则ab=().A.1B.2C.3D.5答案:A解析:|a+b|=10,(a+b)2=10.|a|2+|b|2+2ab=10,|a-b|=6,(a
3、-b)2=6,|a|2+|b|2-2ab=6,由-得ab=1,故选A.5.(2014课标全国,文5)等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则an的前n项和Sn=().A.n(n+1)B.n(n-1)C.n(n+1)2D.n(n-1)2答案:A解析:a2,a4,a8成等比数列,a42=a2a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2.Sn=na1+n(n-1)2d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选A.6.(2014课标全国,文6)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为
4、6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为().A.1727B.59C.1027D.13答案:C解析:由零件的三视图可知,该几何体为两个圆柱组合而成,如图所示.切削掉部分的体积V1=326-224-322=20(cm3),原来毛坯体积V2=326=54(cm3).故所求比值为V1V2=2054=1027.7.(2014课标全国,文7)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为3,D为BC中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为().A.3B.32C.1D.32答案:C解析:D是等边ABC的边BC的中点,ADBC.又ABC-A1B1C1为正三棱柱,AD平面BB1
5、C1C.又四边形BB1C1C为矩形,SDB1C1=12S四边形BB1C1C=1223=3.又AD=232=3,VA-B1DC1=13SB1DC1AD=1333=1.故选C.8.(2014课标全国,文8)执行下面的程序框图,如果输入的x,t均为2,则输出的S=().A.4B.5C.6D.7答案:D解析:第一次:12成立,M=2,S=5,k=2;第二次:22成立,M=2,S=7,k=3;第三次:32不成立,输出S=7.故输出的S=7.9.(2014课标全国,文9)设x,y满足约束条件x+y-10,x-y-10,x-3y+30,则z=x+2y的最大值为().A.8B.7C.2D.1答案:B解析:画出
6、可行域如图所示,作直线l0:y=-12x,平移直线l0,当直线过点A(3,2)时,使得z最大,此时,zmax=3+22=7.故选B.10.(2014课标全国,文10)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,则|AB|=().A.303B.6C.12D.73答案:C解析:由已知得焦点F为34,0,则过F且倾斜角为30的直线方程为y=33x-34.联立方程y=33x-34,y2=3x,消去y得x2-212x+916=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=212.又直线AB过焦点F,|AB|=x1+x2+32=212+32=12.故选C.11.(
7、2014课标全国,文11)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+)单调递增,则k的取值范围是().A.(-,-2B.(-,-1C.2,+)D.1,+)答案:D解析:由f(x)=k-1x,又f(x)在(1,+)上单调递增,则f(x)0在x(1,+)上恒成立,即k1x在x(1,+)上恒成立.又当x(1,+)时,01x1,故k1.故选D.12.(2014课标全国,文12)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得OMN=45,则x0的取值范围是().A.-1,1B.-12,12C.-2,2D.-22,22答案:A解析:如图所示,设点A(0,1)关于直线OM的对称点为P,则点P
8、在圆O上,且MP与圆O相切,而点M在直线y=1上运动,由圆上存在点N使OMN=45,则OMNOMP=OMA,OMA45,AOM45.当AOM=45时,x0=1.结合图象知,当AOM45时,-1x01,x0的范围为-1,1.第卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2014课标全国,文13)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为.答案:13解析:基本事件有(红,白),(红,蓝),(红,红),(白,蓝),
9、(白,白),(白,红),(蓝,白),(蓝,红),(蓝,蓝)共9种,而选择同一种颜色有3种情况,即(红,红),(白,白),(蓝,蓝),故P=39=13.14.(2014课标全国,文14)函数f(x)=sin(x+)-2sin cos x的最大值为.答案:1解析:f(x)=sin(x+)-2sin cos x=sin xcos +cos xsin -2sin cos x=sin xcos -cos xsin =sin(x-),f(x)max=1.15.(2014课标全国,文15)偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=.答案:3解析:f(x)为偶函数,f(-1)=f
10、(1).又f(x)的图像关于直线x=2对称,f(1)=f(3).f(-1)=3.16.(2014课标全国,文16)数列an满足an+1=11-an,a11=2,则a1=.答案:12解析:由a11=2及an+1=11-an,得a10=12.同理a9=-1,a8=2,a7=12,所以数列an是周期为3的数列.所以a1=a10=12.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2014课标全国,文17)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD;(2)求四边形ABCD的面积.分析:在第(1)问中,由于四边形ABCD各边已知
11、,且角A与角C互补,由此条件入手,利用余弦定理,建立关于C与BD的等量关系解方程组可得.在第(2)问中,由第(1)问已求得角C,结合三角形面积公式分别求出ABD与BCD的面积,求和可得四边形ABCD的面积.解:(1)由题设及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C=13-12cos C,BD2=AB2+DA2-2ABDAcos A=5+4cos C.由,得cos C=12,故C=60,BD=7.(2)四边形ABCD的面积S=12ABDAsin A+12BCCDsin C=1212+1232sin 60=23.18.(本小题满分12分)(2014课标全国,文18)如图,四棱锥P-A
12、BCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB平面AEC;(2)设AP=1,AD=3,三棱锥P-ABD的体积V=34,求A到平面PBC的距离.分析:在第(1)问中,欲证PB平面AEC,可根据线面平行的判定定理,只需在平面AEC中找一条直线与PB平行即可.又E是PD的中点,联想到三角形中位线定理,可找BD的中点,又ABCD为矩形,利用对角线互相平分从而可证.对于第(2)问,由已知棱锥P-ABD的体积V及AP,AD的长,可得底面矩形ABCD的另一边AB的长,欲求A到平面PBC的距离,可由A向平面PBC引垂线,关键是垂足的几何位置,再由条件知BC平面PAB,故过A作
13、垂直于平面PBC的垂线的垂足应在PB上,而PAB为直角三角形,可利用等面积法求得斜边PB上的高,从而求得答案.解:(1)设BD与AC的交点为O,连结EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EOPB.EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)V=16PAABAD=36AB,由V=34,可得AB=32.作AHPB交PB于H,由题设知BC平面PAB,所以BCAH.故AH平面PBC.又AH=PAABPB=31313.所以A到平面PBC的距离为31313.19.(本小题满分12分)(2014课标全国,文19)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了50位
14、市民.根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高),绘制茎叶图如下:(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数;(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率;(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.分析:第(1)问是求中位数问题,应根据中位数的定义及茎叶图提供的数据分别对甲、乙两部门的评分由小到大排序,由于有50个数据,中间是第25与第26两个数,中位数应取它们的平均值.第(2)问是用频率值来估计概率问题,应根据茎叶图提供的数据,分别找出甲、乙两部门评分高于90分的个数,分别求出频率即得.对于第(3)问,可根据得到的中位数及数据的集中程度作出评价.解:(1)由所给茎叶图知,50位市民对甲部门的评分由小到大排序,排在第25,26位的是75,75,故样本中位数为75,所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序,排在第25,26位的是66,68,故样本中位数为66+682=67,所以该市的市民对乙部门
