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1、普通高等学校招生全国统一考试数学真题2016年普通高等学校招生全国统一考试天津文科数学1.(2016天津,文1)已知集合A=1,2,3,B=y|y=2x-1,xA,则AB=()A.1,3B.1,2C.2,3D.1,2,3答案A由题意知,当x=1时,y=21-1=1;当x=2时,y=3;当x=3时,y=5.因此,集合B=1,3,5.故AB=1,3.2.(2016天津,文2)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是12,甲获胜的概率是13,则甲不输的概率为()A.56B.25C.16D.13答案A令A=“甲、乙下成和棋”,B=“甲获胜”,C=“甲输”,则C=“甲不输”.P(A)=12,P(B)=13,
2、P(C)=1-12-13=16 .P(C)=1-16=56.故甲不输的概率为56.3.(2016天津,文3)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为()答案B由题意得该长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,如下图所示:易知其左视图为B项中图.故选B.4.(2016天津,文4)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦距为25,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为()A.x24-y2=1B.x2-y24=1C.3x220-3y25=1D.3x25-3y220=1答案A双曲线x2a2-y2b2=
3、1(a0,b0)的焦距为25,c=5.又该双曲线的渐近线与直线2x+y=0垂直,渐近线方程为y=12x.ba=12,即a=2b.a2=4b2.c2-b2=4b2.c2=5b2.5=5b2.b2=1.a2=c2-b2=5-1=4.故所求双曲线的方程为x24-y2=1.5.(2016天津,文5)设x0,yR,则“xy”是“x|y|”的()A.充要条件B.充要而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案C当x=1,y=-2,1-2,但1yx|y|,xy不是x|y|的充分条件.对于x|y|,若y0,则x|y|xy;若y0,则xy,x|y|xy.xy是x|y|的必要条件.“xy”是“x|
4、y|”的必要而不充分条件.故选C.6.(2016天津,文6)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)f(-2),则a的取值范围是()A.-,12B.-,1232,+C.12,32D.32,+答案Cf(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增,f(x)在(0,+)上单调递减.由f(2|a-1|)f(-2)=f(2)可得2|a-1|2=212.|a-1|12.-12a-112,即12a0),xR.若f(x)在区间(,2)内没有零点,则的取值范围是()A.0,18B.0,1458,1C.0,58D.0,1814,58答案Df(x)=
5、1-cosx2+12sin x-12=12sin x-12cos x=22sinx-4.由f(x)=0,得x-4=k,kZ,x=k+4,kZ.f(x)在区间(,2)内没有零点,有T22-=,且k+4,(k+1)+42,由T2,得T2,00,018;当k=0时,1458;当k-2或k1,kZ时,不满足00),则|2a|5=455a=2.又点M(0,5)在圆C上,则圆C的半径r=22+5=3.故圆C的方程为(x-2)2+y2=9.13.(2016天津,文13)如图,AB是圆的直径,弦CD与AB相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段CE的长为.答案233解析设CE=x,如图,连接AC,BC
6、,AD,则由相交弦定理得DECE=AEBE,DE=2x,又BD=DE=2x,所以AC=AE=1.因为AB是直径,所以BC=32-12=22,AD=9-4x2.由题意可知,BCEDAE,则BCAD=ECAE,即229-4x2=x1,解得x=233.14.(2016天津,文14)已知函数f(x)=x2+(4a-3)x+3a,x0,且a1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x3恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是.答案13,23解析由函数f(x)在R上单调递减可得0a1,3-4a20,3af(0)=1,解得13a34.当x0时,由f(x)=0得x0=1a-1.又a13,1a-12,
7、即x0(0,2.如图,作出y=|loga(x+1)+1|(x0)的图象,由图知当x0时,方程|f(x)|=2-x3只有一解.当x0时,解得a1712或a23.又a13,34,a13,23.方程有一负根x0和一零根,则有x00=3a-2=0,解得a=23.显然与a23矛盾.方程有一正根x1和一负根x2,则有x1x2=3a-20,解得a23.又a13,34,所以a13,23.由(1)(2)可知,a的取值范围为13,23.15.(2016天津,文15)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=3bsin A.(1)求B;(2)若cos A=13,求sin C的值.解(1
8、)在ABC中,由asinA=bsinB,可得asin B=bsin A,又由asin 2B=3bsin A,得2asin Bcos B=3bsin A=3asin B,所以cos B=32,得B=6.(2)由cos A=13,可得sin A=223,则sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sinA+6=32sin A+12cos A=26+16.16.(2016天津,文16)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:原料肥料ABC甲483乙5510现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料3
9、00吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.解(1)由已知,x,y满足的数学关系式为4x+5y200,8x+5y360,3x+10y300,x0,y0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:图1图2(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-23x+z3,这是斜率为-2
10、3,随z变化的一族平行直线,z3为直线在y轴上的截距,当z3取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距z3最大,即z最大.解方程组4x+5y=200,3x+10y=300,得点M的坐标为(20,24).所以zmax=220+324=112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.17.(2016天津,文17)如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED平面ABCD,EFAB,AB=2,BC=EF=1,AE=6,DE=3,BAD=60,G为BC的中点.(1)求证:FG平面BED;(2)求证
11、:平面BED平面AED;(3)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.(1)证明取BD中点O,连接OE,OG.在BCD中,因为G是BC中点,所以OGDC且OG=12DC=1,又因为EFAB,ABDC,所以EFOG且EF=OG,即四边形OGFE是平行四边形,所以FGOE.又FG平面BED,OE平面BED,所以,FG平面BED.(2)证明在ABD中,AD=1,AB=2,BAD=60,由余弦定理可得BD=3,进而ADB=90,即BDAD.又因为平面AED平面ABCD,BD平面ABCD,平面AED平面ABCD=AD,所以BD平面AED.又因为BD平面BED,所以,平面BED平面AED.(3)解因为EFAB,所以直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所成的角.过点A作AHDE于点
