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1、普通高等学校招生全国统一考试数学真题2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(文科)本试卷分第卷和第卷两部分.满分150分.考试用时120分钟.参考公式:如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).第卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014山东,文1)已知a,bR,i是虚数单位,若a+i=2-bi,则(a+bi)2=().A.3-4iB.3+4iC.4-3iD.4+3i答案:A解析:a+i=2-bi,a+bi=2-i.即(a+bi)2=(2-i)2=4-4i-1=3-4i.2.
2、(2014山东,文2)设集合A=x|x2-2x0,B=x|1x4,则AB=().A.(0,2B.(1,2)C.1,2)D.(1,4)答案:C解析:由已知可得A=x|0x2.又B=x|1x4,AB=x|1x0,x0.x2,f(x)的定义域为(2,+).4.(2014山东,文4)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是().A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根答案:A解析:“至少有一个”的否定为“没有”.5.(2014山东,文5)已
3、知实数x,y满足axay(0ay3B.sin xsin yC.ln(x2+1)ln(y2+1)D.1x2+11y2+1答案:A解析:0a1,axy.x3y3.6.(2014山东,文6)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a0,a0)的图象如图,则下列结论成立的是().A.a1,c1B.a1,0c1C.0a1D.0a1,0c1答案:D解析:由图象可知y=loga(x+c)的图象是由y=logax的图象向左平移c个单位得到的,其中0c1.再根据单调性易知0a1.7.(2014山东,文7)已知向量a=(1,3),b=(3,m),若向量a,b的夹角为6,则实数m=().A.23B.3C.
4、0D.-3答案:B解析:cos=ab|a|b|,cos6=3+3m232+m2,解得m=3.8.(2014山东,文8)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为().A.6B.8C.12D.18答案:C解析:设样本容量为n,由题意得n(0.24+0.16)=20,n=50.第三组的频数为500.3
5、6=18人.则第三组中有疗效的人数为18-6=12.9.(2014山东,文9)对于函数f(x),若存在常数a0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是().A.f(x)=xB.f(x)=x2C.f(x)=tan xD.f(x)=cos(x+1)答案:D解析:由f(x)为准偶函数的定义可知,若f(x)的图象关于x=a(a0)对称,则f(x)为准偶函数,在D中f(x)=cos(x+1)的图象关于x=k-1(kZ)对称,故选D.10.(2014山东,文10)已知x,y满足约束条件x-y-10,2x-y-30,当目标函数z=ax+by
6、(a0,b0)在该约束条件下取到最小值25时,a2+b2的最小值为().A.5B.4C.5D.2答案:B解析:约束条件x-y-10,2x-y-30满足可行域如图所示.由图可知目标函数z=ax+by(a0,b0)取最小值时,最优解为(2,1),即2a+b=25,b=25-2a.a2+b2=a2+(25-2a)2=5a2-85a+20=(5a-4)2+4.当a=455时,a2+b2取最小值为4.第卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2014山东,文11)执行下面的程序框图,若输入的x的值为1,则输出的n的值为.答案:3解析:输入x=1,12-4+30,执行是,
7、x=2,n=1;返回22-8+30,执行是,x=3,n=2;返回32-12+30,执行是,x=4,n=3;返回42-16+30,执行否,输出n=3.12.(2014山东,文12)函数y=32sin 2x+cos2x的最小正周期为.答案:解析:原式=32sin 2x+1+cos2x2=sin2x+6+12.周期T=22=.13.(2014山东,文13)一个六棱锥的体积为23,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为.答案:12解析:根据题意得底面正六边形面积为63,设六棱锥的高为h,则V=13Sh,1363h=23,解得h=1.设侧面高为h,则h2+(3)2=h2,h=2.
8、正六棱锥的侧面积为61222=12.14.(2014山东,文14)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为23,则圆C的标准方程为.答案:(x-2)2+(y-1)2=4解析:圆心在直线x-2y=0上,可设圆心为(2a,a).圆C与y轴正半轴相切,a0,半径r=2a.又圆C截x轴的弦长为23,a2+(3)2=(2a)2,解得a=1(a=-1舍去).圆C的圆心为(2,1),半径r=2.圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.15.(2014山东,文15)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,若
9、双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为.答案:y=x解析:由已知得|OA|=a,|AF|=c,|OF|=|AF|2-|OA|2=c2-a2=b2=b,b=p2.抛物线的准线y=-p2=-b.把y=-b代入双曲线x2a2-y2b2=1得x2=2a2,直线y=-p2被双曲线截得的线段长为22a,从而22a=2c.c=2a,a2+b2=2a2,a=b,渐近线方程为y=x.三、解答题:本大题共6小题,共75分.16.(本小题满分12分)(2014山东,文16)海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如下表
10、所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A,B,C各地区商品的数量;(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.分析:(1)利用分层抽样在各层中的抽样比等于在总体中的抽样比求解.(2)先利用列举法求出在这6件样品中随机抽取2件的总的基本事件个数及所抽取的2件商品来自相同地区的基本事件个数,进而利用古典概型的概率公式即可求解.解:(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650+150+100=150,所以样本中包含三个地区的个体数量分别是:50150=1,150150=
11、3,100150=2.所以A,B,C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A,B,C三个地区的样品分别为:A;B1,B2,B3;C1,C2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为:A,B1,A,B2,A,B3,A,C1,A,C2,B1,B2,B1,B3,B1,C1,B1,C2,B2,B3,B2,C1,B2,C2,B3,C1,B3,C2,C1,C2,共15个.每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件D:“抽取的这2件商品来自相同地区”,则事件D包含的基本事件有B1,B2,B1,B3,B2,B3,C1,C2,共4个.所以P(D)=415,即这2件商品
12、来自相同地区的概率为415.17.(本小题满分12分)(2014山东,文17)ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cos A=63,B=A+2.(1)求b的值;(2)求ABC的面积.分析:(1)在ABC中,已知cos A=63,B=A+2,相当于已知角A,B,又已知边a,故可利用asinA=bsinB求b.(2)由已知及(1)可知a,b,故根据SABC=12absin C,只需求sin C,在ABC中,由C=-(A+B),可求sin C.解:(1)在ABC中,由题意知sin A=1-cos2A=33,又因为B=A+2,所以sin B=sinA+2=cos A=63.由正
13、弦定理可得b=asinBsinA=36333=32.(2)由B=A+2得cos B=cosA+2=-sin A=-33.由A+B+C=,得C=-(A+B),所以sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=33-33+6363=13.因此ABC的面积S=12absin C=1233213=322.18.(本小题满分12分)(2014山东,文18)如图,四棱锥P-ABCD中,AP平面PCD,ADBC,AB=BC=12AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.(1)求证:AP平面BEF;(2)求证:BE平面PAC.分析:(1)要证AP平面BEF,由线面
14、平行的判定定理知,只需在平面BEF内找到一条直线与AP平行即可,而已知F为PC的中点.“由中点找中点”,故考虑利用三角形的中位线定理求解,即找AC的中点,由已知可通过证明四边形ABCE为菱形而达到目的.(2)要证BE平面PAC,由线面垂直的判定定理知:只需证BE垂直于平面PAC内的两条相交直线即可.由(1)可知BEAC.又已知AP平面PCD,则AP垂直于平面PCD内的所有直线,即APCD,故考虑通过证明BECD来证明BEPA,则由BEAC且BEPA,可证BE平面PAC.证明:(1)设ACBE=O,连接OF,EC.由于E为AD的中点,AB=BC=12AD,ADBC,所以AEBC,AE=AB=BC,因此四边形ABCE为菱形,所以O为AC的中点.又F为PC的
