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1、普通高等学校招生全国统一考试数学真题2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(文科)第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014辽宁,文1)已知全集U=R,A=x|x0,B=x|x1,则集合U(AB)=().A.x|x0B.x|x1C.x|0x1D.x|0x1答案:D解析:AB=x|x0或x1,U(AB)=x|0xbcB.acbC.cbaD.cab答案:D解析:0a=2-1320=1,b=log213log1212=1,cab.故选D.4.(2014辽宁,文4)已知m,n表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是
2、().A.若m,n,则mnB.若m,n,则mnC.若m,mn,则nD.若m,mn,则n答案:B解析:对A:m,n还可能异面、相交,故A不正确.对C:n还可能在平面内,故C不正确.对D:n还可能在内,故D不正确.对B:由线面垂直的定义可知正确.5.(2014辽宁,文5)设a,b,c是非零向量,已知命题p:若ab=0,bc=0,则ac=0;命题q:若ab,bc,则ac.则下列命题中真命题是().A.pqB.pqC.(p)(q)D.p(q)答案:A解析:对命题p中的a与c可能为共线向量,故命题p为假命题.由a,b,c为非零向量,可知命题q为真命题.故pq为真命题.故选A.6.(2014辽宁,文6)若
3、将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是().A.2B.4C.6D.8答案:B解析:所求概率为S半圆S长方形=121221=4,故选B.7.(2014辽宁,文7)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.8-4B.8-2C.8-D.8-2答案:C解析:由几何体的三视图可知,原几何体为棱长是2的正方体挖去两个底面半径为1,高为2的14圆柱,故该几何体的体积是正方体的体积减去半个圆柱,即V=23-12122=8-.故选C.8.(2014辽宁,文8)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直
4、线AF的斜率为().A.-43B.-1C.-34D.-12答案:C解析:由已知,得准线方程为x=-2,F的坐标为(2,0).又A(-2,3),直线AF的斜率为k=3-0-2-2=-34.故选C.9.(2014辽宁,文9)设等差数列an的公差为d.若数列2a1an为递减数列,则().A.d0B.d0D.a1d0答案:D解析:2a1an为递减数列,2a1an+12a1an=2a1an+1-a1an=2a1(an+1-an)=2a1d1.a1d0.故选D.10.(2014辽宁,文10)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=cos x,x0,12,2x-1,x12,+,则不等式f(x-1)12的解
5、集为().A.14,2343,74B.-34,-1314,23C.13,3443,74D.-34,-1313,34答案:A解析:令t=x-1.当t0,12时,t0,2,由f(t)12,即cos t12,得3t2,解得13t12.当t12,+时,由f(t)12,即2t-112,解得12t34.综上,t0,+)时,f(t)12的解集为13,34.f(x)为偶函数,f(|x|)=f(x).故tR时,由f(t)12可得13|t|34,即-34t-13或13t34.由f(x-1)12得-34x-1-13或13x-134,解得14x23或43x74.故选A.11.(2014辽宁,文11)将函数y=3sin
6、2x+3的图象向右平移2个单位长度,所得图象对应的函数().A.在区间12,712上单调递减B.在区间12,712上单调递增C.在区间-6,3上单调递减D.在区间-6,3上单调递增答案:B解析:由题意知,平移后的函数f(x)=3sin2x-2+3=3sin2x-+3=-3sin2x+3.令2k-22x+32k+2,kZ,解得f(x)的递减区间为k-512,k+12,kZ.令2k+22x+32k+32(kZ),解得f(x)的递增区间为k+12,k+712,kZ.从而可判断选项B正确.12.(2014辽宁,文12)当x-2,1时,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,则实数a的取值范围是().A.
7、-5,-3B.-6,-98C.-6,-2D.-4,-3答案:C解析:当x-2,1时,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,即当x-2,1时,不等式ax3x2-4x-3(*)恒成立.(1)当x=0时,aR.(2)当0x1时,由(*)得ax2-4x-3x3=1x-4x2-3x3恒成立.设f(x)=1x-4x2-3x3,则f(x)=-1x2+8x3+9x4=-x2+8x+9x4=-(x-9)(x+1)x4.当0x1时,x-90,f(x)0,f(x)在(0,1上单调递增.当0x1时,可知af(x)max=f(1)=-6.(3)当-2x0时,由(*)得a1x-4x2-3x3.令f(x)=0,得x=-1或
8、x=9(舍).当-2x-1时,f(x)0,当-1x0,f(x)在-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增.x-2,0)时,f(x)min=f(-1)=-1-4+3=-2.可知af(x)min=-2.综上所述,当x-2,1时,实数a的取值范围为-6a-2.故选C.第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2014辽宁,文13)执行下面的程序框图,若输入n=3,则输出T=.答案:20解析:由程序框图可知,当i=03时,i=1,S=1,T=1;当i=13时,i=2,S
9、=3,T=4;当i=23时,i=3,S=6,T=10;当i=33时,i=4,S=10,T=20;可知i=43,退出循环.故输入n=3时,输出T=20.14.(2014辽宁,文14)已知x,y满足约束条件2x+y-20,x-2y+40,3x-y-30,则目标函数z=3x+4y的最大值为.答案:18解析:画出x,y满足约束条件的可行域如图阴影部分.由3x-y-3=0,x-2y+4=0得x=2,y=3,A点坐标为(2,3).作直线l0:3x+4y=0,可知当平移l0到l(l过点A)时,目标函数有最大值,此时zmax=32+43=18.15.(2014辽宁,文15)已知椭圆C:x29+y24=1,点M
10、与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=.答案:12解析:如图,设MN的中点为P,则由F1是AM的中点,可知|AN|=2|PF1|.同理可得可知|BN|=2|PF2|.|AN|+|BN|=2(|PF1|+|PF2|).根据椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=6,|AN|+|BN|=12.16.(2014辽宁,文16)对于c0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+b2-c=0且使|2a+b|最大时,1a+2b+4c的最小值为.答案:-1解析:要求|2a+b|的最大值,只需求(2a+b)2的最大值.4a2-2ab+b2-c=0,4a2
11、+b2=c+2ab,(2a+b)2=4a2+b2+4ab=c+2ab+4ab=c+6abc+32a+b22,即(2a+b)24c,当且仅当2a=b时,取得等号,即(2a+b)2取到最大值,即2a=b时,|2a+b|取到最大值.把2a=b代入4a2-2ab+b2-c=0,可得c=4a2.1a+2b+4c=1a+22a+44a2=2a+1a2=1a+12-1.当1a=-1时,1a+2b+4c取到最小值-1.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2014辽宁,文17)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ac.已知BABC=2,cos B=13
12、,b=3,求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.分析:(1)由数量积定义及余弦定理,可列出a,c的方程组,解方程组即可求出a,c的值.(2)由已知及正弦定理可分别求出B,C角的正、余弦值,再利用两角差的余弦公式可求出cos(B-C)的值.解:(1)由BABC=2得cacos B=2.又cos B=13,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+22=13.解ac=6,a2+c2=13,得a=2,c=3或a=3,c=2.因为ac,所以a=3,c=2.(2)在ABC中,sin B=1-cos2B=1-132=223,由正弦定理,得si
13、n C=cbsin B=23223=429.因为a=bc,所以C为锐角,因此cos C=1-sin2C=1-4292=79.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=1379+223429=2327.18.(本小题满分12分)(2014辽宁,文18)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100(1)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.附:2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2.P(2k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635分析:(1)由表
