2014年全国普通高考数学(陕西卷)理精编解析版纯word版

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2、运算a3=2S=8,因此a1=2,a2=4,a3=8,只有C选项符合.5.(2014陕西,理5)已知底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为().A.323B.4C.2D.43答案:D解析:依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径,可设球半径R,则2R=12+12+(2)2=2,解得R=1,所以V=43R3=43.6.(2014陕西,理6)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为().A.15B.25C.35D.45答案:C解析:从5个点取2个共有C52=10种取法,而不小于正方形边长的只有4条边与2条对角

3、线,共6种,所以P=610=35.7.(2014陕西,理7)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是().A.f(x)=x12B.f(x)=x3C.f(x)=12xD.f(x)=3x答案:D解析:由于axay=ax+y,所以指数函数f(x)=ax满足f(x+y)=f(x)f(y),且当a1时单调递增,0a1时单调递减,所以f(x)=3x满足题意.8.(2014陕西,理8)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是().A.真,假,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假,假答案:B解析:易知

4、原命题为真命题,所以逆否命题也为真,设z1=3+4i,z2=4+3i,则有|z1|=|z2|,但是z1与z2不是共轭复数,所以逆命题为假,同时否命题也为假.9.(2014陕西,理9)设样本数据x1,x2,x10的均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,10),则y1,y2,y10的均值和方差分别为().A.1+a,4B.1+a,4+aC.1,4D.1,4+a答案:A解析:y=x1+a+x2+a+x3+a+x10+a10=10x+10a10=x+a=1+a.s2=x1+a-(1+a)2+x2+a-(1+a)2+x10+a-(1+a)210=(x1-1)2+(x2-1)

5、2+(x10-1)210=4.10.(2014陕西,理10)如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为().A.y=1125x3-35xB.y=2125x3-45xC.y=3125x3-xD.y=-3125x3+15x答案:A解析:由图像可知函数在x=5处切线平行于x轴,即f(5)=0,f(-5)=0,只有A选项f(x)=35x225-1符合.第二部分(共100分)二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分).11.(2014陕西,理11)已知4a=2,l

6、g x=a,则x=.答案:10解析:4a=2,a=log42=12.由lg x=12,得x=1012=10.12.(2014陕西,理12)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为.答案:x2+(y-1)2=1解析:因为(1,0)关于y=x的对称点为(0,1),所以圆C是以(0,1)为圆心,以1为半径的圆,其方程为x2+(y-1)2=1.13.(2014陕西,理13)设02,向量a=(sin 2,cos ),b=(cos ,1),若ab,则tan =.答案:12解析:由ab,得sin 2=cos2,即2sin cos =cos2,因为02,所以cos 0,整理

7、得2sin =cos .所以tan =12.14.(2014陕西,理14)观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.答案:F+V-E=2解析:因为5+6-9=2,6+6-10=2,6+8-12=2,故可猜想F+V-E=2.15.(2014陕西,理15)(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)A.(不等式选做题)设a,b,m,nR,且a2+b2=5,ma+nb=5,则m2+n2的最小值为.答案:5解析:由柯西不等式,得(a2+b2)(m2+n2)(am+bn)2,

8、即5(m2+n2)25,m2+n25,当且仅当an=bm时,等号成立.m2+n2的最小值为5.B.(几何证明选做题)如图,ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB,AC于点E,F,若AC=2AE,则EF=.答案:3解析:由已知得四边形BCFE为圆的内接四边形,因此AEF=ACB,AFE=ABC,所以AEFACB,于是有AEAC=EFCB,而AC=2AE,BC=6,所以EF=3.C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点2,6到直线sin-6=1的距离是.答案:1解析:sin-6=sincos6-sin6cos=1,因为在极坐标系中cos =x,sin =y,所以直线可化为x-3y+

9、2=0.同理点2,6可化为(3,1),所以点到直线距离为d=|3-3+2|3+1=1.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共75分).16.(本小题满分12分)(2014陕西,理16)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值.分析:在(1)问中结合等差数列性质,得出a,b,c之间关系,再利用正弦定理转化为角的关系,进而结合三角形内角和为,利用诱导公式将角B转化为用角A和C来表示,从而达到证明目标等式.在(2)问利用等比数列基本

10、性质,得出a,b,c之间关系,再结合余弦定理,表达出cos B的式子,依据基本不等式得出其范围,注意等号成立的条件.解:(1)a,b,c成等差数列,a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.sin B=sin-(A+C)=sin(A+C),sin A+sin C=2sin(A+C).(2)a,b,c成等比数列,b2=ac.由余弦定理得cos B=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac2ac-ac2ac=12,当且仅当a=c时等号成立.cos B的最小值为12.17.(本小题满分12分)(2014陕西,理17)四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行

11、于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.(1)证明:四边形EFGH是矩形;(2)求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值.分析:在(1)问中,先证四边形EFGH是平行四边形,利用线面平行得出线线平行,便可达到求证两组对边分别平行的目的,即可得证四边形EFGH为平行四边形.再根据线线垂直得到线面垂直,从而得到平行四边形EFGH中相邻两边垂直.最后证得EFGH是矩形.(2)问中,建立合理的空间直角坐标系,借助于空间向量来解决.线面角的正弦值,即为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值.关键是求平面的法向量,要先设出法向量,再根据法向量和平面内的两个不共线向量的数量

12、积分别为零求出法向量.(1)证明:由该四面体的三视图可知,BDDC,BDAD,ADDC,BD=DC=2,AD=1,由题设,BC平面EFGH,平面EFGH平面BDC=FG,平面EFGH平面ABC=EH,BCFG,BCEH,FGEH.同理EFAD,HGAD,EFHG.四边形EFGH是平行四边形.又ADDC,ADBD,AD平面BDC.ADBC.EFFG.四边形EFGH是矩形.(2)解法一:如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),DA=(0,0,1),BC=(-2,2,0),BA=(-2,0,1).设平面EFGH的法向量n=(x

13、,y,z),EFAD,FGBC,nDA=0,nBC=0,得z=0,-2x+2y=0,取n=(1,1,0).sin =|cos|=BAn|BA|n|=252=105.解法二:如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E是AB的中点,F,G分别是BD,DC的中点,得E1,0,12,F(1,0,0),G(0,1,0).FE=0,0,12,FG=(-1,1,0),BA=(-2,0,1).设平面EFGH的法向量n=(x,y,z),则nFE=0,nFG=0.得12z=0,-x+y=0,取n=(1,1,0).sin =|cos|=BAn|BA|n|=252=105.18.(本小题满分12分)(2014陕西,理18)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在ABC三边围成的区域(含边界)上.(1)若PA+PB+PC=0,求|OP|;(2)设OP=mAB+nAC(m,nR),用x,y表示m-n,

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