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1、普通高等学校招生全国统一考试数学真题绝密 启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1) 设集合A=0,2,4,6,8,10,B=4,8,则A
2、B=(A)4,8(B)0,2,6(C)0,2,6,10(D)0,2,4,6,8,10(2) 若z=4+3i,则z|z|=(A)1(B)-1(C)45+35i(D)45-35i(3) 已知向量BA=(12,32),BC=(32,12),则ABC=(A)30(B)45(C)60(D)120(4) 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15,B点表示四月的平均最低气温约为5.下面叙述不正确的是(A)各月的平均最低气温都在0以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均最
3、高气温高于20的月份有5个(5) 小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(A)815(B)18(C)115(D)130(6) 若tan=-13,则cos2=(A)-45(B)-15(C)15(D)45(7) 已知a=243,b=323,c=2513,则(A)bac(B)abc(C)bca(D)cab0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为(A)13(B)12(
4、C)23(D)34第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第1321题为必考题,每个试题考生都必须作答。第2224题为选考题。考生根据要求作答。二、填空题:本题共4小题,每小题5分。(13) 设x,y满足约束条件2x-y+10,x-2y-10,x1,则z=2x+3y-5的最小值为.(14) 函数y=sinx-3cosx的图像可由函数y=2sinx的图像至少向右平移个单位长度得到.(15) 已知直线l:x-3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|=.(16) 已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(
5、1,2)处的切线方程是.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(17) (本小题满分12分)已知各项都为正数的数列an满足a1=1,an2-(2an+1-1)an-2an+1=0.()求a2,a3;()求an的通项公式.(18) (本小题满分12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.注:年份代码1-7分别对应年份2008-2014.()由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;()建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注:参考数据:i=17yi=9.32,i=1
6、7tiyi=40.17,i=17(yi-y)2=0.55,72.646.参考公式:相关系数r=i=1n(ti-t)(yi-y)i=1n(ti-t)2i=1n(yi-y)2,回归方程y=a+bt中斜率和截距最小二乘估计公式分别为:b=i=1n(ti-t)(yi-y)i=1n(ti-t)2,a=y-bt.(19) (本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.()证明MN平面PAB;()求四面体N-BCM的体积.(20) (本小题满分12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行
7、于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.()若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ;()若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.(21) (本小题满分12分)设函数f(x)=lnx-x+1.()讨论f(x)的单调性;()证明当x(1,+)时,1x-1lnx1,证明当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.请考生在第2224题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。(22) (本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,O中AB的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.()若PFB=2PCD,求PCD的大小;()若EC的垂直
8、平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OGCD.(23) (本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3cos,y=sin,(为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin(+4)=22.()写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;()设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.(24) (本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-a|+a.()当a=2时,求不等式f(x)6的解集;()设函数g(x)=|2x-1|.当xR时,f(x)+g(x)3,求a的取
9、值范围.试卷全解全析全国丙卷文科(1)C根据补集的定义,知从集合A=0,2,4,6,8,10中去掉集合B中的元素4,8后,剩下的4个元素0,2,6,10构成的集合即为AB,即AB=0,2,6,10,故选C.(2)D因为z=4+3i,所以它的模为|z|=|4+3i|=42+32=5,共轭复数为z=4-3i.故z|z|=45-35i,选D.(3)A因为BA=12,32,BC=32,12,所以BABC=34+34=32.又因为BABC=|BA|BC|cosABC=11cosABC=cosABC,所以cosABC=32,即ABC=30.故选A.(4)D由题图可知,0 在虚线圈内,所以各月的平均最低气温
10、都在0 以上,A正确;易知B,C正确;平均最高气温高于20 的月份有3个,分别为六月、七月、八月,D错误.故选D.(5)C密码的前两位共有15种可能,其中只有1种是正确的密码,因此所求概率为115.故选C.(6)D(方法1)cos 2=cos2-sin2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=1-1321+-132=45.故选D.(方法2)tan =-13,sincos=-13,即3sin =-cos .两边平方得9sin2=cos2,即91-cos22=1+cos22,解得cos 2=45.(7)A因为a=243=423,c=2513=523,b=323,且函数y=
11、x23在0,+)内是增函数,所以323423523,即ba16,退出循环,输出n=4.故选B.(9)D(方法1)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由题意得,SABC=12a13a=12acsin B,c=23a.由正弦定理,得sin C=23sin A.C=34-A,sin C=sin34-A=23sin A,即22cos A+22sin A=23sin A,整理得sin A=-3cos A.sin2A+cos2A=1,sin2A+19sin2A=1,即sin2A=910,解得sin A=31010(排除负值).故选D.(方法2)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由题意得SABC=
12、12aa3=12acsin B,c=23a.b2=a2+23a2-2a2a322=5a29,即b=5a3.由正弦定理asinA=bsinB得,sin A=asinBb=a225a3=31010.故选D.(10)B由题意知该几何体为四棱柱,且四棱柱的底面是边长为3的正方形,侧棱长为35,所以所求表面积为(33+36+335)2=54+185,故选B.(11)B由题意知要使球的体积最大,则它与直三棱柱的若干个面相切.设球的半径为R,易得ABC的内切球的半径为6+8-102=2,则R2.因为2R3,即R32,所以Vmax=43323=92,故选B.(12)A由题意知,A(-a,0),B(a,0),根据对称性,不妨令P-c,b2a,设l:x=my-a,M-c,a-cm,E0,am.直线BM:y=-a-cm(a+c)(x-a).又直线BM经过OE的中点,(a-c)a(a+c)m=a2m,解得a=3c.e=ca=13,故选A.(13)-10满足已知条件的可行域为如图所示的阴影部分,其中A(1,0),B(-1,-1),C(1,3).z=2x+3y-5,y=-2x3+5+z3.作直线y=-23x,并在可行域内移动,当直线经过点B时,直线在y轴上的截距最小,即z最小.故zmin=2(-1)+3(-1)-5=-10.(14)3因为y=sin x-3cos x=
