最新(完整版)八年级几何辅助线专题训练

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1、- 1 - 常见的辅助线的作法 1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高， 利用“三线合一”的性质解题 2. 倍长中线 ：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角 形 3. 角平分线在三种添辅助线 ： （1）可以自角平分线上的某一点向角的 两边作垂线， （2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角 的两边相交，形成一对全等三角形。 （3）可以在该角的两边上，距离 角的顶点相等长度的位置上截取二点， 然后从这两点再向角平分线上 的某点作边线，构造一对全等三角形。 4. 垂直平分线联结线段两端： 在垂直平分线上的某点向该线段的两 个端点作连线，出一对全等三角形。

2、 5. 用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线 段的长， 6. 图形补全法 ：有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边 三角形 . 7. 角度数为 30 度、60 度的作垂线法 ：遇到三角形中的一个角为30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样 可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创 造边、角之间的相等条件。 8. 面积方法 ：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原 三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答 - 2 -

3、D C B A E D F C B A 一、等腰三角形“三线合一”法 1.如图，已知 ABC 中， A90 ，ABAC，BE 平分 ABC，CEBD 于 E， 求证： CE= BD. 中考连接： （2014?扬州，第7 题， 3 分）如图，已知AOB=60 ，点 P 在边 OA 上， OP=12，点 M，N 在边 OB 上， PM=PN，若 MN=2，则 OM=（） A3B4C 5D6 二、倍长中线（线段）造全等 例 1、 （ “希望杯”试题）已知，如图ABC 中，AB=5 ，AC=3 ， 则中线 AD的取值范围是 _. 例 2、如图，ABC中，E、F分别在 AB 、AC上，DE DF ，D是

4、中点，试比较 BE+CF 与 EF的大小 . 例 3、如图， ABC 中，BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证： AD平分 BAE. EDC B A - 3 - O E D CB A ABC 中考连接： （09 崇文）以的两边 AB、AC 为腰分别向外作等腰Rt 和等腰 Rt ACE， 90 ,BADCAE 连接 DE，M、N 分别是 BC、DE 的中点探究： AM 与 DE 的关系（ 1）如图当 ABC 为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关系 是，线段 AM 与 DE 的数量关系是； （2）将图中的等腰 Rt ABD 绕点 A沿逆时针方向旋转(090)后，如图 所示， （1）问中得到

5、的两个结论是否发生改变？并说明理由 三、借助角平分线造全等 1、如图，已知在 ABC中，B=60，ABC的角平分线 AD,CE相交于点 O ，求 证：OE=OD - 4 - 2、如图，已知点C 是MAN 的平分线上一点， CEAB 于 E，B、D 分别在 AM 、AN 上，且 AE= （AD+AB ）.问：1 和2 有何关系？ 中考连接： (2012年北京 )如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所 在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法， 解答下列问题： （1）如图，在 ABC 中， ACB 是直角， B=60，AD、CE 分别是 BAC、BCA 的

6、平分线， AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出FE 与 FD 之间的数量关系； （2）如图，在ABC 中，如果 ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变， 请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立， 请说明理由。 O P A M N E B C D F A C E F B D 图 图图 - 5 - E D G F C B A 四, 垂直平分线联结线段两端 1. （ 2014?广西贺州，第17 题 3 分）如图，等腰ABC 中， AB=AC， DBC=15 ，AB 的垂直平分线MN 交 AC 于点 D， 则 A 的度数是 2、如图， ABC中，AD平分 BAC ，D

7、G BC且平分 BC ，DE AB于 E，DF AC 于 F. （1）说明 BE=CF 的理由； （2）如果 AB=a，AC= b ，求 AE 、BE的长. 中考连接： （2014 年广东汕尾，第19 题 7 分）如图，在RtABC 中， B=90 ，分别以点A、C 为圆 心，大于AC 长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接 MN，与 AC、BC 分别交于点D、 E，连接 AE （1）求 ADE； （直接写出结果） （2）当 AB=3，AC=5 时，求 ABE 的周长 补充：尺规作图 过直线外一点做已知直线的垂线 - 6 - E D C B A D C B A P Q C B A 五、截长补短

8、 1、如图，ABC中，AB=2AC ，AD平分BAC ，且 AD=BD ，求证： CD AC 2、如图， AD BC ，EA,EB分别平分 DAB,CBA ，CD过点 E，求证 ;ABAD+BC 。 3、如图，已知在 ABC 内， 0 60BAC， 0 40C，P，Q分别在 BC ，CA上， 并且 AP ，BQ分别是BAC ，ABC的角平分线。求证： BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形 ABCD 中，BC BA,AD CD ，BD平分ABC， 求证： 0 180CA C D B A - 7 - 5. 如图，已知正方形 ABCD 中，E 为 BC 边上任意一点， AF 平分 DAE求证：

9、 AEBEDF 6.如图， ABC 中， ABC=60 ，AD、CE 分别平分 BAC，ACB ，判断 AC 的长与 AE+CD 的大小关系并证明 . 7.如图，Rt ABC 中，ACB=90 ，CDAB 于 D，AF 平分 CAB 交 CD 于 E， 交 CB 于 F，且 EGAB 交 CB 于 G，判断 CF 与 GB 的大小关系并证明。 - 8 - F E D CB A 六、综合 1、正方形 ABCD 中，E 为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF，求 EAF 的度数 . 2、如图， ABC为等边三角形， 点,MN分别在,BC AC上，且 BMCN ，AM 与 BN

10、 交于Q点。求AQN的度数。 3、已知四边形 ABCD 中， ABAD ， BCCD ， ABBC ，120ABC o ， 60MBN o ，MBN绕 B 点旋转，它的两边分别交ADDC，（或它们的延长 线）于 EF， 当MBN绕 B 点旋转到 AECF 时（如图 1） ，易证 AECFEF 当MBN绕 B 点旋转到 AECF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结 论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AECF， EF 又有怎样的 数量关系？请写出你的猜想，不需证明 （图 1） A B C D E F M N （图 2） A B C D E F M N （图 3） A B C

11、D E F M N - 9 - N M E F A C B A 4、D为等腰 Rt ABC 斜边 AB的中点， DM DN,DM,DN 分别交 BC,CA于点 E,F。 （1） 当MDN 绕点 D转动时，求证 DE=DF 。 （2） 若 AB=2 ，求四边形 DECF 的面积。 5、在等边ABC 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点M、N，D 为ABCV 外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC. 探究：当 M、 N 分别在直线 AB、 AC 上移动时， BM、NC、MN 之间的数量关系及AMN 的周长 Q 与等边ABC 的周长 L 的关系 图 1 图 2 图 3 （I）如图 1，当

12、点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是； 此时 L Q ； （II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（ I）问的 两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图 3，当 M 、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时， 若 AN=x，则 Q= （用x、L 表示） - 10 - 中考连接：（2014?抚顺第 25 题（ 12 分） ） 已知：RtABCRtABC，ACB=ACB=90 ，ABC= ABC=60 ，RtABC可绕点 B 旋转，设旋转过程中直线CC和 AA 相交 于点 D （1）如图 1 所

13、示，当点 C在 AB 边上时，判断线段AD 和线段 AD 之间的 数量关系，并证明你的结论； （2）将 RtABC由图 1 的位置旋转到图 2 的位置时， （1）中的结论是否成 立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）将 RtABC由图 1 的位置按顺时针方向旋转角（0 120） ，当 A、 C、A三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数 - 11 - D C B A E D F C B A 参考答案与提示 一、倍长中线（线段）造全等 例 1、（ “希望杯” 试题）已知，如图 ABC中， AB=5， AC=3， 则中线 AD的取值范围是 _. 解：延长AD至 E使 AE 2AD ，

14、连 BE ，由三角形性质知 AB-BE 2ADAB+BE 故 AD的取值范围是1AD4 例 2、如图， ABC中， E、F分别在 AB 、 AC上， DEDF ，D是中点，试比较BE+CF与 EF的 大小 . 解： ( 倍长中线 , 等腰三角形“三线合一”法) 延长 FD至 G使 FG 2EF，连 BG ，EG, 显然 BG FC， 在 EFG中，注意到DEDF，由等腰三角形的三线合一知 EG EF 在 BEG中，由三角形性质知 EGBG+BE 故： EFBE+FC 例 3、如图， ABC中， BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证：AD平分 BAE. EDCB A 解：延长AE至 G使 A

15、G 2AE，连 BG ，DG, 显然 DG AC ，GDC= ACD 由于 DC=AC ，故ADC= DAC - 12 - 在 ADB与 ADG 中， BDAC=DG ，AD AD ， ADB= ADC+ ACD= ADC+ GDC ADG 故 ADB ADG ，故有 BAD= DAG ，即 AD平分 BAE 应用： Rt ABD 和 等 腰1、 （09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰 Rt ACE， 90 ,BADCAE 连接 DE，M、N分别是 BC、DE的中点探究：AM与 DE的位置关系及数量关系 （1）如图当 ABC为直角三角形时， AM与DE的位置关系是， 线段 AM与

16、DE的数量关系是； （2） 将图中的等腰RtABD绕点 A沿逆时针方向旋转 (090)后， 如图所示， （1） 问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由 解： （1） AMED2 ， EDAM ； 证明：延长AM 到 G，使 AMMG ，连 BG，则 ABGC 是平行四边形 BGAC，180BACABG 又180BACDAE DAEABG 再证：ABGDAE AMDE2，EDABAG 延长 MN 交 DE 于 H 90DAHBAG 90DAHHDA EDAM （2）结论仍然成立 证明：如图，延长CA 至 F，使FAAC，FA 交 DE 于点 P，并连接BF BADA ， AFEA EADDAFBAF90 ABC G C H A B D M N E F P A D N E - 13 - E D C B A 在 FAB和EAD中 DABA EADBAF AEFA EADFAB（SAS ） DEBF，AENF 90AENAPEFFPD DEFB 又AFCA，MBCM FBAM / ，且FBAM 2 1 DEAM，DEAM 2 1 二、截长补短 1、如图，ABC中， AB=2AC ，AD平分