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1、专题1.15 导数-存在性问题1高考对本部分的考查一般有三个层次：（1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；（2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；（3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题2存在性问题的解法（1）若在区间D上有最值，则能成立：；（2）若能分离常数，即将问题转化为（或），则能成立：；1已知函数，（1）求的单调区间；（2）若，存在非零实数，满足，证明：【试题来源】“超级全能生”2021届高三全国卷地区1月联考试题（丙卷）【答案】（1）答案见解析；（2）
2、证明见解析【分析】（1）利用导数的基本运算可得，讨论、或，利用导数与函数单调性之间的关系即可得出结果（2）根据题意可得，分别为的零点，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，不妨设，利用零点存在性定理可得，即证【解析】（1）由题意得，令，当时，即当时，；当时，故的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，令，则，故的单调递减区间为，单调递增区间为，；当时，令，则，满足，故在上单调递增；当时，令，则，故的单调递减区间为，单调递增区间为，综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，；当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，（2）证明：当时
3、，依题意得，分别为的零点，由（1）知在上单调递增，在上单调递减设，由，由零点存在性定理得，由零点存在性定理得，利用不等式的性质得，则，同理当时也成立综上，【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式、零点存在性定理，解题的关键是讨论的取值，利用零点存在性定理得出，考查了分类讨论的思想2已知函数，（1）若，的极大值是，求a的值；（2）若，在上存在唯一零点，求b的值【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测【答案】（1）；（2）【分析】（1）先求得函数的定义域，求得函数的导函数，根据定义域，分析导函数的零点情况，对实数进行分类讨论，根据函数的
4、极值的条件，求得的值；（2）利用导数研究函数的单调性，结合唯一零点的条件得到等式，化简即可求得的值【解析】（1）若，则的定义域为，若，在定义域内单调递增，无极大值；若，单调递增；，单调递减时，取得极大值，（2）若，则，令，得，当时，有唯一解，即，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增因为有且只有1个零点，所以即因为，整理可得故【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题和零点问题，属基础题，难度一般，关键点在于（1）中的分类讨论，（2）中的的根的设而不求的思想3已知函数，a，bR（1）若a0，b0，且1是函数的极值点，求的最小值；（2）若b=a+1，且存在，1，使成立，求实数a的取值范围【
5、试题来源】江苏省常州市2021届高三下学期学业水平监测期初联考【答案】（1）最小值；（2）【分析】（1）由1是函数的极值点得，对用基本不等式中“1的代换”求最值；（2）把“存在，1，使成立”转化为函数在上的最小值小于0，利用导数讨论单调性，找到最小值，解出a的范围即可【解析】（1）因为是函数的极值点，所以即此时当当所以函数在处取极小值所以因为，所以(当且仅当时等号成立)此时有最小值（2）当时，存在使成立，即函数在上的最小值小于当即时，在上单调递减，所以在上的最小值为，所以，不符，舍去；当即时，在上单调递增，所以在上的最小值为所以，又所以；（3）当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以在上的
6、最小值为因为所以所以所以，所以不符，舍去，综上可得，的取值范围是【名师点睛】（1）导数为零，并且两侧导数一正一负的点为极值点；导数为零，但是两侧导数符号相同的点不是极值点（2）研究含参数的函数的单调性要注意：讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行，切记不要忽略定义域的限制；利用导数求函数单调性，大多数情况下归结为对含参数的不等式的解集的讨论；在能够通过因式分解求出不等式对应方程解时，依据根的大小进行分类讨论；在不能通过因式分解求出不等式对应方程解时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨4已知函数，（1）若，是的两个根，证明：；（2）若存在，使，求的取值范围【试题来源】浙江省宁波市宁海中学创新班
7、2021届高三下学期2月测试【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）先证明，则，展开即可得到答案；（2）由，分，三种情况讨论即可【解析】（1）由题，是的两个根，则，同理，则，易知，展开化简得（2）若存在，使，因为，所以，当时，在上单调递增，所以在上单调递增，不满足题意当时，则在上，在上，所以在上单调递增，在上单调递减，又，在上，从而在上单调递增，又，所以在上而当时，所以存在，使当时，则，在上单调递减，所以在上单调递减，不满足题意综上所述：【名师点睛】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成
8、求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解5已知函数（且）（1）若，求函数的极值；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第六次复习检测【答案】（1），无极大值；（2）【分析】（1）求出导函数，利用导数与函数单调性之间的关系判断函数的单调性，由单调性求出函数的极值（2）由题意只需函数在上的最小值小于0，求出，讨论的取值范围，利用导数判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，即可【解析】（1）依题意，当时，定义域为，令，得当时，为减函数；当时，为增
9、函数，所以，无极大值（2）若存在，使得成立，即函数在上的最小值小于0，且令，得，当，即时，恒成立，函数在单调递减，由，得，即；当，即时，恒成立，函数在上单调递减，不合题意；当，即时，在上，为减函数；在上，为增函数，所以由，得，解得，即综上，所以实数的取值范围是【名师点睛】本题考查了利用导数求函数的极值，利用导数研究不等式能成立，解题的关键是将不等式转化为函数在上的最小值小于0，考查了运算能力、分析能力，分类讨论的思想6已知且（1）当时，求的单调区间；（2）设，存在，使成立求实数的取值范围【试题来源】2021年东北三校（哈师大附中、东师大附中、辽宁省实验）高三第一次联合模拟考试试卷【答案】（1）
10、增区间，减区间；（2）【分析】（1）求导得，由于，再解不等式和即可得答案；（2）由题知，进而将问题转化为在上的最大值为与最小值为之差大于等于再根据导数研究函数的最值即可【解析】（1）函数的定义域为由已知，由得增区间，由得减区间；（2）由已知，设在上的最大值为，最小值为，依题意：，为增函数，时，递增；时，递减故，设，在上递增，时，此时，时，此时，当时，设，在上递增，又，所以由得，当时，由得，综上：的取值范围是【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式成立等问题，考查运算求解能力与分类讨论思想，是难题本题第二位解题的关键在于将问题转化为在上的最大值为与最小值为之差大于等于，再结合导数研究
11、函数的最值；其中用到作差法比较大小，构造函数研究最值等方法7已知函数（1）当时，函数的极小值为5，求正数b的值；（2）若，且当时，不等式在区间上有解，求实数a的取值范围【试题来源】云南师范大学附属中学2021届高三下学期第七次月考【答案】（1）；（2）【分析】（1）由，得到，求导，再利用极值的定义，由函数的极小值为5求解（2）由，得到，求导，分，讨论求得最大值求解【解析】（1）函数的定义域为当时，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极小值为，所以（2）当时，则当，即时，所以在上单调递增，所以；当，即时，设的两根分别为，则，所以，所以在区间上，所以在上单调递增，所以综上，当时，在区间上
12、的最大值为，所以，所以实数a的取值范围是【名师点睛】不等式有解问题的解法：若在区间D上有最值，则；若能分离常数，即将问题转化为（或），则；8已知函数（1）若，当时，讨论的单调性；（2）若，且当时，不等式在区间上有解，求实数a的取值范围【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）【答案】（1）答案见解析；（2）【分析】（1）首先求出函数的定义域，由，消去参数，求出导函数，再对参数分类讨论，分别求出函数的单调区间；（2）当时，再求出导函数，对分类讨论，求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围；【解析】（1）因为所以函数的定义域为由，得，则，当时，函数在上单调递减；当时，
13、或，所以在，上单调递减，在上单调递增；当时，或，所以在，上单调递减，在上单调递增（2）当时，则当，即时，所以在上单调递增，所以当，即时，设的两根分别为，则，所以，所以在区间上，所以在上单调递增，所以综上，当时，在区间上的最大值为，所以，所以实数a的取值范围是【名师点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；（2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用9已知函数，（1）
14、若函数存在极小值，求实数的取值范围；（2）若，且对任意恒成立，求实数的取值范围（参考数据：，）【试题来源】浙江省宁波市2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）；（2）【分析】（1）首先求出函数的导数，再对参数分类讨论，即可得解；（2）依题意可得首先，令，得；再证明当时符合要求，令再对与分类讨论，利用导数研究函数的单调性与极值即可；【解析】（1）由题得，又在上为单调递增函数，故当时，无极值当时，存在，在上单调递增，上单调递增，存在极小值故（2）由即首先，令，得；下面证明当时符合要求：令（1）若，即时，令得显然当时，从而递增，又则时，在上单调递减，时，在上单调递增，所以得证；（2）若，即时，下面，只要证，其中由，且在上单调递增，记，得又，所以又令，则所以当时，在上单调递增，上单调递减，得证故所
