《2011届高考数学复习 导数的应用(1) 文 课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011届高考数学复习 导数的应用(1) 文 课件（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、导数的应用,一、复习目标,理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念, 并会用导数求多项式函数的单调区间、极值及闭区间上的最值.,会利用导数求最大值和最小值的方法, 解决某些简单实际问题.,二、重点解析,(2)用 f(x)=0 的根将 f(x) 的定义域分成若干个区间, 列表考查各区间上 f(x) 的符号, 进而确定 f(x) 的单调区间.,注意若 f(x) 在 (a, b), (b, c) 单调递增(减), 且 f(x) 在 x=b 处连续, 则 f(x) 在 (a, c) 单调递增(减).,1.利用导数判断单调性的一般步骤:,(1)确定函数的定义域;,(2)求导数 f(x);,(3)求 f(
2、x)=0 的根;,2.求函数极值的步骤:,(3)检查上面求出的 x 的两侧导数的符号, 如果左正右负, 那么 f(x) 在该点处取极大值, 如果左负右正, 那么 f(x) 在该点处取极小值.,(1)求导数 f(x);,(2)求出 f(x)=0 或 f(x) 不存在的所有的点;,3.连续函数 f(x) 在 a, b 上有最大值和最小值, 求最值的一 般步骤:,4.解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数, 把“问题情景”译为数学语言, 找出问题的主要关系, 并把问题的主要关系近似化、形式化, 抽象成数学问题, 再化归为常规问题, 选择合适的数学方法求解.,(1)求极值;,(2)把极值和
3、f(a), f(b) 相比较, 最大的一个为最大值, 最小的一个为最小值;,1.函数的单调性,三、知识要点,(1)(函数单调性的充分条件)设函数 y=f(x) 在某个区间内可导, 如果 f(x)0, 则 y=f(x) 为增函数, 如果 f(x)0(x0). 显然 f(x)=x3 在 (-1, 1) 上仍旧是增函数.,极大值与极小值统称为极值.,是函数 f(x) 的一个极小值, 记作: y极小值=f(x0),如果对 x0附近的所有点, 都有 f(x)f(x0), 就说 f(x0),2.函数极值的定义,设函数 f(x) 在点 x0 及其附近有定义, 如果对 x0 附近的所有点, 都有 f(x)0,
4、 右侧 f(x)0, 那么 f(x0) 是极大值 ;,(2)如果在 x0 附近的左侧 f(x)0, 那么 f(x0) 是极小值 .,一般地, 当函数 f(x) 在点 x0 处连续时,4.求可导函数 f(x) 的极值的步骤:,(1)确定函数的定义域;,(3)求方程 f(x)=0 的根;,5.函数的最大值与最小值,在闭区间 a, b 上连续的函数 f(x) 在 a, b 上必有最大值与最小值.,但在开区间 (a, b) 内连续的函数 f(x) 不一定有最大值与最小值, 例如 f(x)=x, x(-1, 1).,6.设函数 f(x) 在 a, b 上连续, 在 (a, b) 内可导, 求 f(x)
5、在 a, b上的最大值与最小值的步骤如下:,(1)求 f(x) 在 (a, b) 内的极值;,(2)将 f(x) 的各极值与 f(a), f(b) 比较, 其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值.,(2)求导数 f(x);,(4)检查 f(x) 在方程 f(x)=0 的根左右的值的符号, 如果左正右负, 那么 f(x) 在这个根处取得极大值; 如果左负右正, 那么 f(x) 在这个根处取得极小值.,典型例题 1,已知函数 f(x)=ax3+3x2-x+1 在 R 上是减函数, 求 a 的取值范围.,解: 由已知, f(x)=3ax2+6x-1.,而 3ax2+6x-10(xR),当 f(
6、x)0(xR) 时, f(x) 是减函数.,由 y=x3 在 R 上为增函数知, a=-3 时, f(x)(xR) 是减函数.,a-3 时, 在 R 上存在一个区间, 其上有 f(x)0,当 a-3 时, f(x) 不是减函数.,综上所述, a 的取值范围是 (-, -3.,典型例题 2,求下列函数的最值: (1)f(x)=x3-3x2+6x-2, x-1, 1.,解: (1)f(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2),=3(x-1)2+10 恒成立,f(x) 在 -1, 1 上单调递增.,f(x)min=f(-1)=-12,f(x)max=f(1)=2.,(2) y=3x2-3.,令
7、y=0, 得 x=-1 或 1.,当 x=1 时, ymin=1,典型例题 3,已知 a 为实数, f(x)=(x2-4)(x-a). (1)求导函数 f(x); (2)若 f(-1) =0, 求 f(x) 在 -2, 2 上的最大值和最小值; (3)若 f(x) 在 (-, -2和 2, +) 上都是递增的, 求 a 的取值范围.,解: (1)由已知 f(x)=x3-ax2-4x+4a,f(x)=3x2-2ax-4.,f(x)=3x2-x-4.,(3) f(x) 的图象为开口向上的抛物线且过点 (0, -4),由题设得 f(-2)0 且 f(2)0 .,8+4a0 且 8-4a0.,-2a2
8、.,故 a 的取值范围是 -2, 2.,典型例题 4,又 f(x) 的图象过点 P(0, 1),此时 f(x)=ax4+cx2+1,偶函数 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e 的图象过点 P(0, 1), 且在 x=1 处的切线方程为 y=x-2, (1)求 y=f(x) 的解析式; (2)求 y=f(x) 的极大(小)值.,函数在 x=1 处的切线方程为 y=x-2, 切线的斜率为 1.,解: (1)f(x) 是偶函数, b=d=0.,e=1.,f(x)=4ax3+2cx.,1=f(1)=4a+2c.,即 4a+2c=1. ,切线的切点在曲线上,a+c+1=-1. ,典型例题 4,由
9、 f(x)=0 得:,当 x 变化时, f(x), f(x) 的变化情况如下表:,解: (2)由(1)知, f(x)=10x3-9x.,当 x=0 时, f(x)极大值=1.,极小值,极大值,极小值,偶函数 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e 的图象过点 P(0, 1), 且在 x=1 处的切线方程为 y=x-2, (1)求 y=f(x) 的解析式; (2)求 y=f(x) 的极大(小)值.,典型例题 5,设 t0, 点 P(t, 0) 是函数 f(x)=x3+ax与 g(x)=bx2+c 的图象的一个公共点, 两函数的图象在点 P 处有相同的切线. (1)用 t 表示 a, b, c
10、; (2)若函数 y=f(x)-g(x) 在 (-1, 3) 上单调递减, 求 t 的取值范围.,解: (1)函数 f(x) 的图象过点 P(t, 0), f(t)=0t3+at=0.,t0, a=-t2.,又函数 g(x) 的图象也过点 P(t, 0), g(t)=0bt2+c=0.,c=ab.,两函数的图象在点 P 处有相同的切线, f(t)=g(t).,而 f(x)=3x2+a, g(x)=2bx,3t2+a=2bt.,将 a=-t2 代入上式得 b=t.,c=ab=-t3.,综上所述, a=-t2, b=t, c=-t3.,(2)方法一,y=f(x)-g(x)=x3-tx2-t2x+t
11、3.,y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).,当 y=(3x+t)(x-t)0 时, y=f(x)-g(x)为减函数.,函数 y=f(x)-g(x) 在(-1, 3) 上单调递减,t3 或 t-9.,t 的取值范围是 (-, -93, +).,(2)方法二,y=f(x)-g(x)=x3-tx2-t2x+t3.,y=(3x+t)(x-t).,函数 y=f(x)-g(x) 在 (-1, 3) 上单调递减,y=(3x+t)(x-t)的图象是开口向上的抛物线,y=(3x+t)(x-t)0 对于 x(-1, 3) 恒成立.,则 y|x=-10 且 y|x=30.,即 (-3+t)(-1-t)
12、0 且 (9+t)(3-t)0.,解得 t3 或 t-9.,t 的取值范围是 (-, -93, +).,典型例题 6,已知函数 f(x)=ax3+cx+d (a0) 是 R 上的奇函数, 当 x=1 时, f(x) 取得极值 -2. (1)求 f(x) 的单调区间和极大值; (2)证明: 对任意x1, x2(-1, 1), 不等式 |f(x1)-f(x2)|4 恒成立.,(1)解:函数 f(x) 是 R 上的奇函数,f(-x)=-f(x), 即 -ax3-cx+d=-ax3-cx-d 对 xR 恒成立.,d=0.,f(x)=ax3+cx,f(x)=3ax2+c.,当 x=1 时, f(x) 取
13、得极值 -2,f(1)=-2 且 f(1)=0.,a+c=-2 且 3a+c=0.,a=1, c=-3.,f(x)=3x2-3.,由 f(x)0 得 -1x0 得 x1.,f(x) 在 (-, -1) 上是增函数, 在 (-1, 1) 上是减函数, 在,(1, +) 上是增函数.,当 x=-1 时, f(x) 取得极大值 f(-1)=2.,故函数 f(x) 的单调递减区间是 (-1, 1), 单调递增区间是,(-, -1) 和(1, +);,f(x) 的极大值为 2.,典型例题 6,已知函数 f(x)=ax3+cx+d (a0) 是 R 上的奇函数, 当 x=1 时, f(x) 取得极值 -2
14、. (1)求 f(x) 的单调区间和极大值; (2)证明: 对任意x1, x2(-1, 1), 不等式 |f(x1)-f(x2)|4 恒成立.,(2)证: 由 (1) 知 f(x)=x3-3x 在 -1, 1 上是减函数,且 f(x) 在 -1, 1 上的最大值 M=f(-1)=2,f(x) 在 -1, 1 上的最小值 m=f(1)=-2,对任意x1, x2(-1, 1), 不等式 |f(x1)-f(x2)|4 恒成立.,解: (1)由已知 f(x)=3ax2+2bx-3, 依题意得,f(-1)=f(1)=0.,解得 a=1, b=0.,3a-2b-3=0 且 3a+2b-3=0.,f(x)=3x2-3.,由 f(x)0 得 -1x1;,课后练习 1,已知函数 f(x)=ax3+bx2-3x 在 x=1 处取得极值. (1)讨论 f(1) 和 f(-1) 是函数 f(x) 的极大值还是极小值; (2)过点 A(0, 16) 作曲线 y=f(x) 的切线, 求此切线方程.,
