《2021年高考数学一轮复习《圆锥曲线：椭圆》大题练习教师版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年高考数学一轮复习《圆锥曲线：椭圆》大题练习教师版（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2021年高考数学一轮复习圆锥曲线：椭圆大题练习已知点A(0，2)，椭圆E：=1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当OPQ的面积最大时，求l的方程.【参考答案】解：(1)设F(c,0)，由条件知，=，得c=.又=，所以a=2，b2=a2c2=1.故E的方程为y2=1.(2)当lx轴时不合题意，故设l：y=kx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).将y=kx2代入y2=1得(14k2)x216kx12=0.当=16(4k23)0，即k2时，x1,2=.从而|PQ|=|x1x2|=.又点O到直
2、线PQ的距离d=，所以OPQ的面积SOPQ=d|PQ|=.设=t，则t0，SOPQ=.因为t4，当且仅当t=2，即k=时等号成立，且满足0，所以，当OPQ的面积最大时，l的方程为y=x2或y=x2.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab1)的离心率e=,且椭圆C过点P(2,1).(1)求椭圆C的方程;(2)直线的l的斜率为12,直线l与椭圆C交于A,B两点.求PAB面积的最大值.【参考答案】解:(1)因为e2=c2a2=34,所以a2=4b2,则椭圆方程为+y2b2=1,即x2+4y2=4b2.因为椭圆过点P(2,1),所以代入上式得b2=2,a2=8,所以椭圆方程
3、为+=1.(2)设l的方程为y=12x+m,代入椭圆方程中整理得x2+2mx+2m2-4=0,所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,=4m2-4(2m2-4)0m20)的焦点在x轴上,且椭圆C的焦距为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点R(4,0)的直线l与椭圆C交于两点P,Q,过P作PNx轴且与椭圆C交于另一点N,F为椭圆C的右焦点,求证:三点N,F,Q在同一条直线上.【参考答案】 (1)解:因为椭圆C:x2a2+y27-a2=1(a0)的焦点在x轴上,所以a27-a20,即3.5a20,x1+x2=,x1x2=64k2-123+4k2,由题可得直线QN的方程为y+y1=y2+y
4、1x2-x1(x-x1),又因为y1=k(x1-4),y2=k(x2-4),所以直线QN的方程为y+k(x1-4)=(x-x1),令y=0,整理得x=x1x2-4x2-x12+4x1x1+x2-8+x1=2x1x2-4(x1+x2)x1+x2-8=1,即直线QN过点(1,0),又因为椭圆C的右焦点坐标为F(1,0),所以三点N,F,Q在同一条直线上.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率为.过F1的直线l0交C于P，Q两点，且PQF2的周长为8.(1)求椭圆C的方程；(2)圆(y2)2=与x轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧)，过点M任作一条直线与
5、椭圆C相交于A，B两点，连接AN，BN，求证ANM=BNM. 【参考答案】解：(1)设椭圆C的方程为=1(ab0)因为离心率为，所以=，解得=，即a2=2b2.又PQF2的周长为|PQ|PF2|QF2|=(|PF1|PF2|)(|QF1|QF2|)=2a2a=4a，所以4a=8，即a=2，b=2，所以椭圆C的方程为=1.(2)证明：把y=0代入(y2)2=，解得x=1或x=4，即点M(1,0)，N(4,0)当ABx轴时，由椭圆的对称性可知ANM=BNM.当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=k(x1)联立消去y，得(k22)x22k2xk28=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
6、则x1x2=，x1x2=.因为y1=k(x11)，y2=k(x21)，所以kANkBN=.因为(x11)(x24)(x21)(x14)=2x1x25(x1x2)8=8=0，所以kANkBN=0，所以ANM=BNM.综上所述，ANM=BNM.设A，B分别是x轴，y轴上的动点，点P在直线AB上，且=，|=2.(1)求点P的轨迹E的方程；(2)已知曲线E上的定点K(2,0)及动点M，N满足=0.试证：直线MN必过x轴上的定点. 【参考答案】解：(1)设P(x，y)，A(xA,0)，B(0，yB)，则=(xxA，y)，=(x，yBy)，由=，得xA=xx，yB=yy，由|=2，即可求得点P的轨迹E的方
7、程为=1.(2)证明：设直线KM：y=k(x2)(k0)与=1联立，消去y，得(34k2)x216k2x16k212=0.设M(x1，y1)，则2x1=，x1=2=，y1=k(x12)=，M，设直线KN：y=(x2)(k0)，同理可得N，kMN=(k21)，则MN：y=(x)，化简可得y=，即直线MN过定点，另MN斜率不存在时，也过定点，直线MN必过定点.已知椭圆C：=1(ab0)上一点P与椭圆右焦点的连线垂直于x轴，直线l：y=kxm与椭圆C相交于A，B两点(均不在坐标轴上).(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，若AOB的面积为，试判断直线OA与OB的斜率之积是否为定值？【参考答案】解：(1)由题意知解得椭圆C的标准方程为=1.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k23)x28kmx4m212=0，由=(8km)216(4k23)(m23)0，得m24k23.x1x2=，x1x2=，SOAB=|m|x1x2|=|m|=，化简得4k232m2=0，满足0，从而有4k2m2=m23(*)，kOAkOB=，由(*)式，得=1，kOAkOB=，即直线OA与OB的斜率之积为定值.
