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1、 1999年量子力学考研试题 一. 质量为的粒子，在阱宽为的非对称一维无限深势阱中运动，当时，粒子处于状态 其中，为粒子的第个本征态。（1） 求时能量的取值几率；（2） 求时的波函数；（3） 求时能量的取值几率。解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 （1） 首先，将归一化。由 可知，归一化常数为 于是，归一化后的波函数为 能量的取值几率为 能量取其它值的几率皆为零。（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故时的波函数为 （3） 由于哈密顿量是守恒量，所以时的取值几率与时相同。二. （见习题选讲5.10）设体系的哈密顿算符为 利用适当的变换求出体系的能量本征值与相应的本征矢。解：将哈密顿算符改写为
2、 显然，构成力学量完全集，且其共同本征函数系为，于是 进而可知能量本征值为 相应的本征矢为球谐函数。 三. 自旋为、固有磁矩为（为实常数）的粒子，处于均匀外磁场中，设时，粒子处于的状态，求出时的波函数，进而计算与的平均值。解：体系的哈密顿算符为 在泡利表象中，哈密顿算符的矩阵形式为 其本征值满足久期方程 解之得到 将和代入本征方程，可以求出相应的本征矢 ； 依题意可知， 显然，展开系数为时的波函数为将代入上式，得到 的平均值为的平均值为四. 若一维体系的哈密顿算符不显含时间，在能量表象中证明：(1) (2) (3) 证明：（1）. 利用算符微分的定义可知 而从另一个角度出发，又可以得到 比较上述两式得到， （2）. 从计算动量算符平方的平均值出发，有 整理之，有 （3）利用维里定理， 得到 于是，有 五 各向同性三维谐振子的哈密顿算符为 加上微扰之后，求第一激发态的一级能量修正。解：无微扰时，三维谐振子的本征解为 当时，第一激发态存在3度简并，即 利用公式 可以求出 式中， 在简并子空间中，能量一级修正满足的久期方程为 化成一元三次方程 将其变形为 解之得
