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1、2007年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为A3B5C6D102（5分）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为ABCD3（5分）设、是两个集合，定义集合且为、的“差集”，已知，那么等于ABCD4（5分）平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：；与相交与相交或重合；与平行与平行或重合其中不正确的命题个数是A1B2C3D45（5分）已知和是两个不相等的正整数，且，则A0B1CD6（5分）若数列满足为正常数），则称为“等方比数列”甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数
2、列，则A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7（5分）双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的准线为，焦点为；与的一个交点为，则等于AB1CD8（5分）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是A2B3C4D59（5分）连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是ABCD10（5分）已知直线是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有A60条B66条C72条D78条二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11（5分）
3、已知函数的反函数是，则 ； 12（5分）复数，且，若是实数，则有序实数对可以是 （写出一个有序实数对即可）13（5分）设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为 14（5分）某篮运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率 （用数值作答）15（5分）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为为常数），如图所示据图中提供的信息，回答下列问题：（）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为；（）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到
4、0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室三、解答题（共6小题，满分75分）16（12分）已知的面积为3，且满足，设和的夹角为（）求的取值范围；（）求函数的最大值与最小值17（12分）分 组频 数，4，25，30，29，10，2合 计100在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（）估计纤度落在，中的概率及纤度小于1.40的概率是多少；（）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间，的中点值是作为代表据此，估计纤度的
5、期望18（12分）如图，在三棱锥中，底面，是的中点，且，（）求证：平面平面；（）当确定角的值，使得直线与平面所成的角为19（12分）在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线相交于、两点（）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；（）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由20（13分）已知定义在正实数集上的函数，其中设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同（）用表示，并求的最大值；（）求证： 21（14分）已知，为正整数（）用数学归纳法证明：当时，；（）对于，已知，求证，；（）求出满足等式的所有正整数2007年湖北省高考数学试卷（
6、理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为A3B5C6D10【解答】解：由展开式通项有由题意得，故当时，正整数的最小值为5，故选：2（5分）将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为ABCD【解答】解：法一由向量平移的定义，在平移前、后的图象上任意取一对对应点，则，代入到已知解析式中可得选法二由平移的意义可知，先向左平移个单位，再向下平移2个单位故选：3（5分）设、是两个集合，定义集合且为、的“差集”，已知，那么等于ABCD【解答】解：化简得：而化简得：定义集合，且，故选：4（5分）平面外有两条直线和，
7、如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：；与相交与相交或重合；与平行与平行或重合其中不正确的命题个数是A1B2C3D4【解答】解：由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，观察如图的正方体：但，不垂直，故错；但在底面上的射影都是故错；，相交，但，异面，故错；但，异面，故错故选：5（5分）已知和是两个不相等的正整数，且，则A0B1CD【解答】解析：法一特殊值法，由题意取，则，可见应选法二令，分别取和，则原式化为，所以原式（分子、分母1的个数分别为个、个）故选：6（5分）若数列满足为正常数），则称为“等方比数列”甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲
8、是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解答】解：由等比数列的定义，若乙：是等比数列，公比为，即则甲命题成立；反之，若甲：数列是等方比数列，即即公比不一定为，则命题乙不成立，故选：7（5分）双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的准线为，焦点为；与的一个交点为，则等于AB1CD【解答】解：由题设可知点同时满足双曲线和抛物线的定义，且在双曲线右支上，故由定义可得故原式，故选：8（5分）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是A2B3C4D5【解答】解：由等差数列的性质和求和公式可得：，验证知，当，2，3，5，1
9、1时为整数故选：9（5分）连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是ABCD【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数，与不可能同向夹角，】，即当时，5，4，3，2，1；当时，4，3，2，1；当时，3，2，1；当时，2，1；当时，1；当时，满足条件的事件数概率故选：10（5分）已知直线是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有A60条B66条C72条D78条【解答】解：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆上的整数点共有12个，分别为，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个
10、点中过任意两点，构成条直线，其中有4条直线垂直轴，有4条直线垂直轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条综上可知满足题设的直线共有条，故选：二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11（5分）已知函数的反函数是，则6； 【解答】解：法一：函数的反函数为，与对照可得，法二：在上取点，得点在上，故得；又上有点，则点在由此可得，答案：；12（5分）复数，且，若是实数，则有序实数对可以是（写出一个有序实数对即可）【解答】解：由复数运算法则可知，由题意得，则有序实数对可以是或满足的任意一对非零实数对故答案为：或满足的任意一对非零实数对13（5分）设变量，满足约束条件，则目标函
11、数的最小值为【解答】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令，显然当平行直线过点时，取得最小值为；故答案为：14（5分）某篮运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率（用数值作答）【解答】解：由题意知运动员在三分线投球的命中率是定值，投球10次本题是一个独立重复试验所求概率故答案为：15（5分）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为为常数），如图所示据图中提供的信息，回答下列问题：（）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系
12、式为；（）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室【解答】解：由题意和图示，当时，可设为待定系数），由于点在直线上，；同理，当时，可得由题意可得，即得或或，由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室三、解答题（共6小题，满分75分）16（12分）已知的面积为3，且满足，设和的夹角为（）求的取值范围；（）求函数的最大值与最小值【解答】解：（）设中角，的对边分别为，则由，可得，（），即当时，；当时，17（12分）分 组频 数，4，25，30，29，10，2合 计100在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表
13、示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：（）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（）估计纤度落在，中的概率及纤度小于1.40的概率是多少；（）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间，的中点值是作为代表据此，估计纤度的期望【解答】解：（）（）由频率分布表知纤度落在，中的概率约为，纤度小于1.40的概率约为（）总体数据的期望约为18（12分）如图，在三棱锥中，底面，是的中点，且，（）求证：平面平面；（）当确定角的值，使得直线与平面所成的角为【解答】解法（1），是等腰三角形，又是的中点，又底面，于是平面，又平面，平面平面（2）过点在平面内作于，则由（1）知平面连接，于是就是直线与平面所成的角，依题意，所以在中，；在中，故当时，直线与平面所成得角为解法（1）以、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，0，于是，从而，即同理，即，又，平面又平面，平面平面（2）设平面的一个
