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1、2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设为虚数单位，则复数A B C D2. 设集合，则A B C D3. 若向量，则A B C D4. 下列函数中，在区间上为增函数的是A B C D5. 已知变量满足约束条件，则的最大值为A B C D6. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A B C D7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是A B C D8. 对任意两个非零向量，定义,若向量满足，的夹角，且和都在集合中，则A B1 C
2、D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。（一）必做题（913题）9. 不等式的解集为 。10. 的展开式中的系数为 。（用数字作答）11. 已知递增的等差数列满足，则 。 12. 曲线在点处的切线方程为 。13. 执行如图2所示的程序框图，若输入的值为8，则输出的值为 。（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，曲线和参数方程分别为和，则曲线和的交点坐标为 。15. （几何证明选讲选做题）如图3，圆的半径为1，为圆周上的三点，满足，过点作圆的切线与的延长线交于点，则 。三、解答题：本大题共6小题，满分80
3、分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16. （本小题满分12分）已知函数（其中）的最小正周期为1）求的值；2）设，求的值。17. （本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：。1）求图中x的值；2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望。18. （本小题满分13分）如图5，在四棱锥中，底面为矩形，点在线段上，（1）证明：（2）若，求二面角的正切值。19（本小题满分14分）设数列的前项和为，满足，且成等差数列。（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，
4、有。20. （本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到的距离的最大值为3.（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由。21.（本小题满分14分）设，集合，（1）求集合（用区间表示）；（2）求函数在内的极值点。2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案：18: DCAAB CDB注：第8题解析：因为，且和都在集合中，所以，所以所以，故有9. （写成集合形式也给分 ） 10. 20 11. 12. 13. 8 14. 15. 第9题
5、注解：x-(-2)|-|x-0| 即数轴上到-2的点与到0点距离只差小于1的点的集合。三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16. （本小题满分12分）已知函数（其中）的最小正周期为（1）求的值；（2）设，求的值。 解：（1）由题意，解得。（2）由题，即，又，可得，所以。17. （本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：。（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望。 解：（1）由题意：，解得；（2）8090分有人；
6、90100分有人。所有可能的取值为0, 1, 2故 。18. （本小题满分13分）如图5，在四棱锥中，底面为矩形，点在线段上，（1）证明：（2）若，求二面角的正切值。（1）证明：，；，。又，。（2）解：设交于，连结，由题，所以即为二面角的平面角。由（1）知，所以四边形ABCD为正方形，易得。由（1）知又，有，故，。在中，。所以二面角的正切值为3 19（本小题满分14分）设数列的前项和为，满足，且成等差数列。（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有。解：（1）由题，解得，故（2）当时，；当时， 由-得： ，整理得，故为公比为的等比数列，首项为，故，经验证当时，综上。（3
7、）当时又因为，所以，。所以，所以，20. （本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到的距离的最大值为3.（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由。解：（1）由，所以设是椭圆上任意一点，则，所以 当，即时，时，有最大值，可得，所以；当，即时，时，有最大值，可得，舍去。所以故椭圆的方程为：（2）因为在椭圆上，所以，设，由，得所以，可得并且：，所以，所以，（亦可，其中为圆心到直线的距离）设点O到直线AB的距离为，则所以设，由，得，所以，所以，当时，面积最大，最大为。此时，21.（本小题满分14分）设，集合，（1）求集合（用区间表示）；（2）求函数在内的极值点。解：（1）对于方程判别式因为，所以 当时，此时，所以； 当时，此时，所以；当时，设方程的两根为且，则 ， 当时，所以此时， 当时，所以此时，（2），所以函数在区间上为减函数，在区间和上为增函数 当时，因为，所以在D内没有极值点； 当时，所以在D内有极大值点； 当时， 由，很容易得到（可以用作差法，也可以用分析法）所以，在D内有极大值点； 当时，由，很容易得到此时，在D内没有极值点。综上所述： 当时，在D内有极大值点。当或时，在D内没有极值点。
