专题03 利用分类讨论思想解决多解题 （解析版） -备战2021年中考数学复习重难点与压轴题型专项训练

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1、备战2021年中考复习重难点与压轴题型专项训练专题03 利用分类讨论思想解决多解题【典型例题】1（2020江西九年级三模）在ABC 中，A=30，B=90，AC=8，点 D 在边 AB， 且 BD=，点 P 是ABC 边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD的长是_【答案】3或或【分析】根据直角三角形的性质求出BC，勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质列式计算即可【详解】解：如图B=90，A=30，BC=AC=8=4，由勾股定理得，AB= 当点P在AC上时，A=30，AP=2PD，ADP=90，则AD2+PD2=AP2，即（3）2=（2PD）2-PD2，解得，PD=3，当点P在AB上时

2、，AP=2PD，AD=3，PD=，当点P在BC上时，AP=2PD，设PD=x，则AP=2x，由勾股定理得，BP2=PD2-BD2=x2-3， 解得，x= 故答案为：3或或.【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2【专题训练】1、 填空题1（2020江西九年级其他模拟）在RtABC中，AC=3，BC=4，点P是斜边AB上一点，若PAC是等腰三角形，则线段AP的长可能为_【答案】3，2.5或【分析】分三种情况讨论，再利用等腰三角形的性质进行计算即可【详解】若PAC是等腰三角形，则分以下三种情况：PA=AC=3；AP=

3、PC时，则A=ACP，A+B=90，ACP+BCP=90，B=BCP，PC=PB，AP=PB=PC，P为AB的中点，在RtABC中，AP=2.5；PC=AC时，过C作CDAB于D，则AP=2AD，在RtACD中，AD=ACcosA，AP=2ACcosA，又在RtABC中，综上所述，AP的长为3，2.5或故答案为：3，2.5或【点睛】本题考查等腰三角形，熟练应用等腰三角形的性质及锐角三角函数是解题关键2（2020江西九年级其他模拟）在矩形中，边是边的中点，点在射线上运动，若为等腰三角形，则线段的长度等于_【答案】或或【分析】先根据矩形的性质及中点的定义得出BAD=90，AE=DE=1，那么ABE

4、是等腰直角三角形，BE=AB=再分三种情况讨论：BP=BE；PB=PE；EB=EP【详解】矩形ABCD中，AB=1，AD=2，E是AD中点，BAD=90，AE=DE=1，BD=，ABE是等腰直角三角形，BE=AB=，若为等腰三角形，则分：三种情况：当时，显然BP=，DP=；当PB=PE时，如图，连结AP，PB=PE，AB=AE，AP垂直平分BE，ABE是等腰直角三角形，BAP=EAP=45，作PMAB于M，PNAD于N，PM= PN，设PM=，解得：，PM=PN=，PNAD，BND=90，BAD=90，PNAB，NPD=ABD=90，DP=；当时，如图，过点作于点，过点作于点，在中，AE=ED

5、，EGAF，在中，EB=EP，EGBP，综上所述，线段DP的长度等于或或故答案为：或或【点睛】本题考查了勾股定理的应用，矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用等知识，综合性较强，有一定难度进行分类讨论与数形结合是解题的关键3（2020江西九年级二模）已知矩形AOBC的边AO、OB分别在y轴、x轴正半轴上，点C的坐标为（8，6），点E是x轴上任意一点，连接EC，交AB所在直线于点F，当ACF为等腰三角形时，EF的长为_【答案】5或或【分析】ACF是等腰三角形，需要分三种情况进行讨论求解.【详解】解：ACF为等腰三角形有三种情况：如图，当AFCF时，点E与点O

6、重合，由题意得OB8，BC6，由勾股定理得OC10，四边形AOBC为矩形，EF5；如图，当AFAC8时，由可知OC10，四边形AOBC为矩形，ABOC10，ACOB，AFCBFE，BEBF1082，在RtBCE中，由勾股定理得：CE，4，EFCE；如图，当CFAC8时，过点C作CDAF于点D，ADDF，AC8，BC6，AB10，CD，在RtACD中，由勾股定理得：AD，BDABAD10，DFAD，AF，BFDFBD，ACOE，AFCBFE，BE，CFAC，EFBE，EF综上所述，EF的长为5或或故答案为：5或或4（2020江西九年级一模）已知的半径为，是的弦，点在上，若点到直线的距离为，则的度

7、数为_【答案】，或【分析】分三种情况：当PCAB交AB延长线上时，当AB垂直平分OP时，当点C在BA延长线上时，利用三角函数，平行四边形的性质分别求出的度数.【详解】如图1，当PCAB交AB延长线上时，过点O作OEAB于E，AE=,OA=2，cosOAE=，OAE=30，OE=1，PC=1，OEAB，PCAB，PC=OE，PCOE，四边形PCEO是平行四边形，OPAC，OPA=PAB，OA=OP，OAP=OPA=PAB，PAB=15；如图2，当AB垂直平分OP时，OP=2，PC=1，OA=2，OC=1，BAO=30，AOC=60，OA=OP，OAP=OPA=60，ACOP，PAB=30；如图3

8、，当点C在BA延长线上时，可知四边形POEC是平行四边形，OPAB，AOP=OAB=30，OA=OP，PAO=75，PAB=PAO+OAB=105，故答案为：，或.【点睛】此题考查圆的垂径定理，平行四边形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数.5（2019江西中考模拟）RtABC中，ABC=90，AB=3，BC=4，过点B的直线把ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是_【答案】3.6或4.32或4.8【解析】【分析】在RtABC中，通过解直角三角形可得出AC=5、SABC=6，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面

9、积即可【详解】在RtABC中，ACB=90，AB=3，BC=4，AB=5，SABC=ABBC=6沿过点B的直线把ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：当AB=AP=3时，如图1所示，S等腰ABP=SABC=6=3.6；当AB=BP=3，且P在AC上时，如图2所示，作ABC的高BD，则BD=，AD=DP=1.8，AP=2AD=3.6，S等腰ABP=SABC=6=4.32；当CB=CP=4时，如图3所示，S等腰BCP=SABC=6=4.8；综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8，故答案为3.6或4.32或4.8【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质

10、以及三角形的面积，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键6（2019江西）有一张三角形纸片ABC，A80，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则C的度数可以是_【答案】25或40或10【解析】【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三种情况根据等腰三角形的性质求出ADB，再求出BDC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解【详解】由题意知ABD与DBC均为等腰三角形，对于ABD可能有AB=BD，此时ADB=A=80，BDC=180-ADB=180-80=100，C=（180-100）=40，AB=AD，此时ADB=

11、（180-A）=（180-80）=50，BDC=180-ADB=180-50=130，C=（180-130）=25，AD=BD，此时，ADB=180-280=20，BDC=180-ADB=180-20=160，C=（180-160）=10，综上所述，C度数可以为25或40或10故答案为25或40或10【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论7（2020江西九年级二模）菱形ABCD中，ABC=30，ACBD，点E在对角线BD上，AED=45，P是菱形上一点，若AEP是以AE为直角边为直角三角形，则tanAPE的值为_【答案】1或或【分析】本题以菱形为题目背景，综合考查菱形的性质，并

12、以动点问题丰富题干，考查分类讨论方式，结合题干信息特殊角度，可通过做辅助线构造特殊直角三角形以满足求解三角函数正切值的前提，继而通过图形性质求解边长比例【详解】菱形ABCD，ABC=30，ACBDBAC=75连接CE，并延长CE交AB于点P1，如下图所示当AED=45时，BAE=30，AEC与AEP1为直角三角形在AEP1中，tanAP1E=tan60=在AEC（即AEP2，此时点P2与点C重合）中，tanAP2E=tan45=1在AEP3中，EAP3=90，此时CP1AP3设OA=，那么EC=AE=，EP1=所以AP3=CP1=+，tanAP3E=(+)=综上，tanAPE的值为1或或【点睛

13、】本题考点极其丰富，利用分类讨论分析题干要保证不重不漏，出现特殊角度时需要辅助线构造特殊三角形，巧妙利用特殊三边比例关系解答本题8（2020江西九年级二模）菱形中，点在对角线上，P是菱形上一点，若是以为直角边的直角三角形，则的值为_【答案】或1或【分析】分三种情况：（1）当点P在AB边上时，如图1，利用菱形的性质和三角形的外角性质可得APE=60，进而可得结果；（2）当点P在BC边上时，如图2，利用菱形的性质和ASA可证ABEPBE，进一步即可推出EAC=APE=45，于是可得结果；（3）当点P在CD边上时，设AP交BD于点G，连接CE、CG、AC，如图3，利用菱形的性质和轴对称的性质可得四边形AECG是正方形，根据菱形的性质易得APD是底角为30的等腰三角形，进而可得APC=60，即得GCP=30