《2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.3.26.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加减运算的坐标表示素养课件新人教A版必修第二册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.3.26.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加减运算的坐标表示素养课件新人教A版必修第二册（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示,情境探究】 1.平面向量的正交分解及坐标表示 (1)在平面中,垂直的两个非零向量a,b能否作为平面内所有向量的一组基底? 提示:能,平面内任何两个不共线的向量都可以作为一组基底,必备知识生成,2)在平面内,e1,e2是两个互相垂直的非零向量,这个平面内的任一向量是否都能用这两个向量来表示?表示是否唯一? 提示:由平面向量基本定理可知,平面内的任一向量都可以用e1,e2来表示,且表示方法是唯一的,3)在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基 底,任作一向量 ,根据平面向量基本定理, =
2、xi+yj,那么(x,y)与A点的坐 标相同吗? 提示:相同,4)如果向量 也用(x,y)表示,那么这种向量 与实数对(x,y)之间是否一一 对应? 提示:一一对应,2.平面向量的坐标运算 设i,j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量,若设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,根据向量的线性运算性质,向量a+b,a-b如何分别用基底i,j表示? 提示:a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j,a-b=(x1i+y1j)-(x2i+y2j)=(x1-x2)i+(y1-y2)j,3.已知点A(x1,y1),B(x
3、2,y2),那么向量 的坐标是什么?一般地,一个任意向量 的坐标如何计算? 提示: =(x2-x1,y2-y1),任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终 点坐标减去始点坐标,知识生成】 1.平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解:把一个向量分解为两个_的向量,互相垂直,2)向量的坐标表示,单位,xi+yj,x,y,x,y,x,y,x,y,0,0,1,0,0,1,2.平面向量的坐标运算 设a=(x1,y1),b=(x2,y2,x1+x2,y1+y2,和,x1-x2,y1-y2,差,关键能力探究,探究点一平面向量的坐标表示 【典例1】如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3
4、,AOx=45, OAB=105, 四边形OABC为平行四边形. (1)求向量a,b的坐标; (2)求向量 的坐标; (3)求点B的坐标,思维导引】(1)(2)向量坐标是终点坐标减去起点坐标,相等的向量坐标相同. (3)求点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的向量的坐标,解析】(1)作AMx轴于点M,则OM=OAcos 45=4 =2 , AM=OAsin 45= 所以A( ),故a=( ). 因为AOC=180-105=75,AOy=45,所以COy=30.又OC=AB=3,所以 所以 (2) (3) 即点B的坐标为,类题通法】求点、向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标:可利用已知条
5、件,先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标,该坐标就等于相应点的坐标. (2)求一个向量的坐标:首先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标,定向训练】 如图,在正方形ABCD中,O为中心,且 =(-1,-1),则 =_; =_; =_,解析】如题干图, =-(-1,-1)=(1,1), 由正方形的对称性可知,B(1,-1), 所以 =(1,-1), 同理 =(-1,1). 答案:(1,-1)(1,1)(-1,1,探究点二平面向量的坐标运算 【典例2】已知a+b=(1,3),a-b=(5,7),则a=_,b=_. 【思维导引】用加减消元法求a,b的坐标,解析】
6、由a+b=(1,3),a-b=(5,7), 所以2a=(1,3)+(5,7)=(6,10),所以a=(3,5), 2b=(1,3)-(5,7)=(-4,-4),所以b=(-2,-2). 答案:(3,5)(-2,-2,类题通法】 平面向量坐标的线性运算的方法 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行,定向训练】 若向量 =(2,3), =(4,7),则 =() A.(-2,-4)B.(3,4) C.(6,10)D.(-6,-10)
7、【解析】选A. =(2,3)-(4,7)=(-2,-4,探究点三平面向量加、减坐标运算的应用 【典例3】如图所示,已知直角梯形ABCD,ADAB,AB=2AD=2CD,过点C作CEAB 于点E,用向量的方法证明:DEBC. 【思路导引】建立平面直角坐标系,表示出各点坐标,通过平面向量的坐标运 算证明,证明】如图,以E为原点,AB所在直线为x轴, EC所在直线为y轴建立直角坐标系, 设| |=1,则| |=1,| |=2.因为CEAB,而AD=DC, 所以四边形AECD为正方形,所以可求得各点坐标分别为 E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1). 因为 =(-1,1)-(0,0)
8、=(-1,1), =(0,1)-(1,0)=(-1,1), 所以 = ,所以 ,即DEBC,类题通法】通过建立平面直角坐标系,可以将平面内的任一向量用一个有序实数对来表示;反过来,任一有序实数对都可以表示一个向量.因此向量的坐标表示实质上是向量的代数表示,引入向量的坐标后,可使向量运算代数化,将数和形结合起来,从而将几何问题转化为代数问题来解决,定向训练】 已知平行四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D的坐标依次为(3,-1),(1,2), (m,1),(3,n). 求msin +ncos 的最大值,解析】因为四边形ABCD为平行四边形,则 即(3-3,n+1)=(m-1,1-2),即 得m=
9、1,n=-2, 得msin +ncos =sin -2cos = sin(+),其中tan =-2, 故msin +ncos 的最大值为,核心素养,易错提醒,方法总结,核心 知识,课堂素养达标,1.若向量 = =(2,0), =(1,1),则 + 等于() A.(3,1)B.(4,2)C.(5,3)D.(4,3) 【解析】选B. = + =(3,1),又 =(-1,1), 则 =(1,1),所以 =(4,2,2.已知平行四边形OABC,其中O为坐标原点,若A(2,1),B(1,3),则点C的坐标为 _. 【解析】设C的坐标为(x,y),则由已知得 ,所以(x,y)=(-1,2). 答案:(-1,2,3.在平面直角坐标系中,|a|=2 ,a的方向相对于x轴正方向的逆时针转角为 135,则a的坐标为_. 【解析】因为|a|cos135=2 =-2,|a|sin 135=2 =2, 所以a的坐标为(-2,2). 答案:(-2,2,4.已知O是坐标原点,点A在第一象限,| |=4 ,xOA=60. (1)求向量 的坐标; (2)若B( ,-1),求 的坐标. 【解析】(1)设点A(x,y),则x=4 cos 60=2 , y=4 sin 60=6,即A(2 ,6), =(2 ,6). (2) =(2 ,6)-( ,-1)=( ,7
