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1、第三章空间向量与立体几何学案设计人:杨光明3.1.1空间向量及其运算学习目标 1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题重点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律。难点：应用向量解决立体几何中的问题。学习过程一、课前准备复习 1：平面向量基本概念； 加法交换律：abba2：平面向量有加减以及数乘向量运算； 加法结合律：(ab)ca（bc）3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？ 数乘分配律：(ab)ab二、新课导学学习探究探究任务一：空间向量的相关概念问题： 什么叫
2、空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算。反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？加法交换律：A. + B. = B. + a；加法结合律：(A. + b) + C. =A. + (B. + c)；数乘分配律：(A. + b) =A. +b典型例题例1 已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： ； 变式：在上图中，用表示和.例2 化简下列各式： ; .练1. 已知平行六面体, M为AC与BD的交点，化简下列表达式： ; ; .三、总
3、结提升学习小结1. 空间向量基本概念；2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律四、课后反思3.1.2 空间向量的数乘运算（一）学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题重点：空间向量的共线难点：空间向量的共线学习过程 一、课前准备复习1：化简： 5（）+4（）； .复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量， 若是非零向量，则与平行的充要条件是 二、新课导学学习探究探究任务一：空间向量的共线问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判
4、定它们的位置关系？新知：空间向量的共线：1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量. 2. 空间向量共线：定理：对空间任意两个向量（）， 的充要条件是存在唯一实数，使得 试试：已知 ，求证: A,B,C三点共线. 典型例题例1 已知直线AB，点O是直线AB外一点，若，且x+y1，试判断A,B,P三点是否共线？变式：已知A,B,P三点共线，点O是直线AB外一点，若，那么t 例2 已知平行六面体，点M是棱AA的中点，点G在对角线AC上，且CG:GA=2:1,设=，试用向量表示向量.练1. 下列说法正确的是（ ）A. 向量与非零向量共线，与共线，则与 共线；B
5、. 任意两个共线向量不一定是共线向量；C. 任意两个共线向量相等； D. 若向量与共线，则. 2. 已知，若，求实数 三、总结提升学习小结1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 课后反思：3.1.2 空间向量的数乘运算（二）学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题重点：空间向量的共面难点：空间向量的共面学习过程 一、课前准备复习1：什么叫空间向量共线？空间两个向量， 若是非零向量，则与平行的充要条件是 2：已知
6、直线AB，点O是直线AB外一点，若，试判断A,B,P三点是否共线？二、新课导学学习探究探究任务一：空间向量的共面问题：空间任意两个向量不共线的两个向量有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位置关系？ 1.新知：共面向量： 同一平面的向量. 2. 空间向量共面：定理：对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在 ， 使得 .推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是： 存在 ，使 对空间任意一点O，有 试试：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式,则点P与 A,B,C共面吗？反思：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式,且点P与 A,B,C
7、共面，则 .典型例题例1 下列等式中，使M,A,B,C四点共面的个数是（ ） .A. 1 B. 2 C. 3 D. 4变式：已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一点，若向量则P,A,B,C四点共面的条件是 例2 P88例一变式1：已知空间四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D不共面，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点，求证：E,F,G,H四点共面.2. 已知，若，求实数 三、总结提升学习小结1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 课后反思3.1.3空间向量的数量积学习目标 1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2. 掌握两
8、个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题重点：空间向量的数量积定义和性质难点：空间向量的数量积性质与运算学习过程 一、课前准备复习1：什么是平面向量与的数量积？ 2：在边长为1的正三角形ABC中，求.二、新课导学 学习探究探究任务一：空间向量的数量积定义和性质 问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？ 新知：1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量，在空间 一点，作，则叫做向量与的夹角，记作 . 试试： 范围: =0时, ;=时, 成立吗？ ，则称与互相垂直，记作 .2) 向量的数量积：
9、已知向量，则 叫做的数量积，记作，即 .规定:零向量与任意向量的数量积等于零.反思： 两个向量的数量积是数量还是向量？ 4) 空间向量数量积运算律： （选0还是） （1） 你能说出的几何意义吗？ （2）（交换律）3) 空间向量数量积的性质： （3）（分配律）（1）设单位向量，则（2） （3） .5） 吗？ 若，则吗？ 若，则吗？ 典型例题例1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.例2 如图，在空间四边形中，求与的夹角的余弦值变式：如图，在正三棱柱ABC-ABC中，若AB=BB,则AB与CB所成的角为（ ）A. 60 B. 90 C.
10、105 D. 75 三、总结提升学习小结1.向量的数量积的定义和几何意义.2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.课后反思：知识拓展向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法. 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标 1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；重点：空间向量基本定理、向量的直角坐标运算难点：空间向量的正交分解、空间向量的坐标表示学习过程 一、课前准备复习1：平面向量基本定理：复习2：平面向量的坐标表示：二、新课导学 学习探究探究任务一：空间向量的正交分解问题：对空间的任意向量，能否
11、用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？新知：（1）空间向量的正交分解：空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、，使. 如果两两 ，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量 ，对空间任一向量，存在有序实数组，使得. 把 的一个基底，都叫做基向量.反思：空间任意一个向量的基底有 个.单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用i,j,k表示.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则
12、称有序实数组为向量a的坐标，记着 .设A，B，则 .向量的直角坐标运算：设a，b，则ab； ab；a； ab.试试：1. 设，则向量的坐标为 .2. 若A，B，则 .3. 已知a，b，求ab，ab，8a，ab练1. 已知，求：； .练2. 正方体的棱长为2，以A为坐标原点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则点，的坐标分别是 ， ， .三、总结提升 学习小结1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2. 空间向量坐标表示及其运算课后反思：知识拓展建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，通过作辅助线来创造建系的图形. 3.1.5 空间向量运算的坐标表示学习目标 1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 会用这些公式解决有关问题.重点：空间向量坐标表示夹角和距离公式难点：空间向量坐标表示夹角和距离公式学习过程 一、课前准备复习1：设在平面直角坐标系中，A，B，则线段AB .复习2：已知，求：aB. 3ab； 6A. ； ab.二、新课导学 学习探究探究任务一：空间向量坐标表示夹角和距离公式问
