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1、3.4 基本不等式 第二课时 目标 进一步掌握基本不等式 会应用基本不等式求某些表达式的最值。 a2+b22ab （当且仅当 a=b 时取“ =”） 1.重要不等式： 2.基本不等式： 如果 a0, b0， abba 2（当且仅当 a=b 时，等号成立） 注： 常用变形： abba 2 4)( 2baab 思考 1： 在基本不等式 (a 0， b 0)中，如果 ab P为定值，能得到什么原理？ 2a b a b原理一： 若两个正数的积为定值，则当这两个正数相等时它们的和取最小值 . 思考 2： 在基本不等式 (a 0， b 0)中，如果 a b S为定值，又能得到什么原理？ 2a b a b原
2、理二： 若两个正数的和为定值，则当这两个正数相等时它们的积取最大值 . ;1,0)1(1 xxyx .21xx1x2121:时原式有最小值即当且仅当解xxxx;1,0)2( xxyx 有最值，并求其最值。为何值时，函数当函数若 xxxyx ,31,3)3(结论 1： 两个正数积为定值，则和有最小值 5331)3(233-x1)3-x(31y3x:3xxxx、解 。最大值为时，函数有最大值，即当且仅当54,313 xxx.21xx1x2)1()(2)x1()x(1:2时有最大值即当且仅当、解xxxx 例 2： 已知 ，求函数 的最大值 . 103x1,求 的最小值； 11xxy解析： 111)1
3、(11011)1(xxxxxx 3111)1(2 xx3、 已知 00,y0,且 x+2y=1,求 的最小值 yxu11 解析： 223232211 yxxyyyxxyxyxu.221,12122时取到等号时，即当且仅当 yxyxyxxy变式： ( 1 ) 已知 x 0 ， y 0 ，且 1x 9y 1 ，求 x y 的最小值； ( 2 ) 设 x 0 ， y 0 ，且 2x 8y xy ，求 x y 的最小值 “ 1”的代换 ( 1 ) 已知 x 0 ， y 0 ，且 1x 9y 1 ，求 x y 的最小值； 解： ( 1) x 0 ， y 0 ，1x9y 1 ， x y (1x9y)(x
4、y) yx9xy 10 6 10 16. 当且仅当yx9xy， 又1x9y 1 ， 即 x 4 ， y 12 时，上式取等号 故当 x 4 ， y 12 时， (x y)m i n 16. ( 2 ) 设 x 0 ， y 0 ，且 2x 8y xy ，求 x y 的最小值 法二： 由 2x 8y xy 0 及 x 0 ， y 0 ，得8x2y 1. x y (x y ) (8x2y) 8yx2xy 10 28yx2xy 10 18. 当且仅当8yx2xy，即 x 2y 12 时等号成立 x y 的最小值是 18. 课堂小结 : 在利用 基本 不等式求最值时要注意三点： 三是 考虑 等号成立 的条件 二是 寻求定值 ， （ 1） 求和式最小值 时应 使积为定值 ， （ 2） 求积式最大值 时应 使和为定值 (恰当变形 ，合理发现 拆分项 或 配凑因式、 “ 1”的代换 是常用的解题技巧 )； 一是 各项为正 ； 例 3 求函数 的最大值，及此时 x的值。 223( ) ( 0 )xxf x xx 解： ，因为 x0， 3( ) 1 ( 2 )f x xx 所以 332 2 2 2 6xxxx 得 3( 2 2 6x x ) -因此 f(x) 1 2 6
