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1、高中数学必修高中数学必修 5 知识点知识点 第一章：解三角形 第一章：解三角形 一、正弦定理和余弦定理一、正弦定理和余弦定理 1、 正弦定理： 在C中，a、b、c分别为角、C的对边， ， 则有 2 sinsinsin abc R C (R为C的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： 2 sinaR，2 sinbR，2 sincRC； sin 2 a R ，sin 2 b R ，sin 2 c C R ； : :sin:sin:sina b cC； 3、三角形面积公式： 111 sinsinsin 222 C SbcabCac 4、余弦定理：在C中，有 222 2cosabcbc，推论： bc
2、 acb A 2 cos 222 Baccabcos2 222 ，推论： Cabbaccos2 222 ，推论： ab cba C 2 cos 222 二、解三角形 二、解三角形 处理三角形问题， 必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型， 特别要多角度 （几 何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、 无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系 1、三角形中的边角关系 （1）三角形内角和等于 180； （2）三角形中任意两边之和大于大于第三边，任意两边之差小于小于第三边； （3）三角形中大边
3、对大大角，小边对小小角； （4）正弦定理中,a=2R sinA, b=2R sinB, c=2R sinC，其中 R 是 ABC 外接圆半径. ac bca B 2 cos 222 （5）在余弦定理中:2bccosA= 222 acb. （6）三角形的面积公式有:S= 2 1 ah, S= 2 1 absinC= 2 1 bcsinA= 2 1 acsinB , S=)()(cPbPaPP其 中，h 是 BC 边上高，P 是半周长. 2 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦正弦定理. （
4、2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦正弦定理. 3 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：化边为角；化角为边. 4 4、三角、三角形中的三角变换形中的三角变换 （1）角的变换 因 为 在ABC 中，A+B+C= ， 所 以 sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC 。 2 sin 2 cos,
5、2 cos 2 sin CBACBA ； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 （3）在 ABC 中，熟记并会证明：A，B，C 成等差数列的充分必要条件是B=60 ； ABC 是正 三角形的充分必要条件是A，B，C 成等差数列且 a，b，c 成等比数列. 三、解三角形的应用三、解三角形的应用 1.1.坡角和坡度：坡角和坡度： 坡面与水平面的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度，用i表示，根据定 义可知：坡度是坡角的正切，即tani. l h 2.2.俯角和仰角：俯角和仰角： 如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线
6、与水平线所成的夹角中，目标视线在水平视线的上方时叫做 仰角，目标视线在水平视线的下方时叫做俯角. 3. 3. 方位角方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为. 注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角 是相对于正北方向而言的。 4. 4. 方向角：方向角： 相对于某一正方向的水平角. 5.5.视角：视角： 由物体两端射出的两条光线，在眼球内交叉而成的角叫做视角 第二章：数列第二章：数列 一、数列的概念一、数列的概念 1、数列的概念：、数列的概念： 一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列数列，数列中的每一个数叫做这个数列
7、的项项，数列的一般形式 可以写成 123 , n a a aa，简记为数列 n a，其中第一项 1 a也成为首项首项； n a是数列的第n项，也叫做 数列的通项通项. 数列可看作是定义域为正整数集N （或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应 的一列函数值就是这个数列. 2、数列的分类：、数列的分类： 按数列中项的多数分为： （1） 有穷数列有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限. 3、通项公式：、通项公式： 如果数列 n a的第n项 n a与项数n之间的函数关系可以用一个式子表示成 n af n，那么这个式 子就叫做
8、这个数列的通项公式通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式. 4、数列的函数特征：、数列的函数特征： 一般地，一个数列 n a， 如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即 1nn aa ，那么这个数列叫做递增数列递增数列; 如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即 1nn aa ，那么这个数列叫做递减数列递减数列; 如果数列 n a的各项都相等，那么这个数列叫做常数列常数列. 5、递推公式：、递推公式： 某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式递推公式 二、等差数列二、等差数列 1、等差数列的概念：、等差数列的概念： 如果一个数列从第二项起，每一项
9、与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数 叫做等差数列的公差. 即 1nn aad （常数） ，这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据. 2、等差数列的通项公式：、等差数列的通项公式： 设等差数列 n a的首项为 1 a，公差为d，则通项公式为： 1 1, nm aandanm dnmN、. 3、等差中项：、等差中项： （1）若aA b、 、成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且= 2 ab A ; （2）若数列 n a为等差数列，则 12 , nnn a aa 成等差数列，即 1n a 是 n a与 2n a 的等差中
10、项，且 2 1= 2 nn n aa a ；反之若数列 n a满足 2 1= 2 nn n aa a ，则数列 n a是等差数列. 4、等差数列的性、等差数列的性质：质： （1）等差数列 n a中，若,mnpq mnpqN、 、 、则 mnpq aaaa，若2mnp，则 2 mnp aaa； （2）若数列 n a和 n b均为等差数列，则数列 nn ab也为等差数列； （3）等差数列 n a的公差为d，则 0 n da为递增数列， 0 n da为递减数列， 0 n da为常数列. 5、等差数列的前、等差数列的前 n 项和项和 n S： （1）数列 n a的前 n 项和 n S= 1231 ,
11、nn aaaaanN ； （2）数列 n a的通项与前 n 项和 n S的关系： 1 1 ,1 . ,2 n nn S n a SSn （3）设等差数列 n a的首项为 1, a公差为d，则前 n 项和 1 1 1 =. 22 n n n aan n Snad 6、等差数列前、等差数列前 n 和的性质：和的性质： （1）等差数列 n a中，连续 m 项的和仍组成等差数列，即 12122 , mmmm aaaaaa 21223mmm aaa ,仍为等差数列（即 232 , mmmmm SSSSS成等差数列） ； （2）等差数列 n a的前 n 项和 2 11 1 =, 222 n n ndd S
12、nadnan 当0d 时， n S可看作关于 n 的 二次函数，且不含常数项； （3）若等差数列 n a共有 2n+1（奇数）项，则 1 1 =, n Sn SSa Sn 奇 奇偶 偶 中间项 且若等差数列 n a共 有 2n（偶数）项，则 1 =. n n Sa SSnd Sa 偶 奇偶 奇 且 7、等差数列前、等差数列前 n 项和项和 n S的最值问题：的最值问题： 设等差数列 n a的首项为 1, a公差为d，则 （1） 1 00ad且（即首正递减）时， n S有最大值且 n S的最大值为所有非负数项之和； （2） 1 00ad且（即首负递增）时， n S有最小值且 n S的最小值为所有
13、非正数项之和. 三、等比数列三、等比数列 1、等比数列的概念：、等比数列的概念： 如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（0q ）. 即 1n n a q q a 为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据. 2、等比数列的通项公式：、等比数列的通项公式： 设等比数列 n a的首项为 1 a，公比为q，则通项公式为： 1 1 , nn m nm aa qa qnm nmN 、. 3、等比中项：、等比中项： （1）若aA b、 、成等比数列，则A叫做a与b的等比中项，且 2= A
14、ab; （2）若数列 n a为等比数列，则 12 , nnn a aa 成等比数列，即 1n a 是 n a与 2n a 的等比中项，且 2 12 = nnn aaa ；反之若数列 n a满足 2 12 = nnn aaa ，则数列 n a是等比数列. 4、等比数列的性质：、等比数列的性质： （1）等比数列 n a中，若,mnpq mnpqN、 、 、则 mnpq aaaa，若2mnp，则 2 mnp aaa； （2）若数列 n a和 n b均为等比数列，则数列 nn ab也为等比数列； （3）等比数列 n a的首项为 1 a，公比为q，则 11 00 101 n aa a qq 或为递增数列
15、， 11 00 011 n aa a qq 或为递减数列， 1 n qa 为常数列. 5、等比数列的前、等比数列的前 n 项和：项和： （1）数列 n a的前 n 项和 n S= 1231 , nn aaaaanN ； （2）数列 n a的通项与前 n 项和 n S的关系： 1 1 ,1 . ,2 n nn S n a SSn （3）设等比数列 n a的首项为 1 a，公比为0q q ，则 1 1 ,1 .1 ,1 1 n n na q Saq q q 由等比数列的通项公式及前 n 项和公式可知，已知 1, , , , nn a q n a S中任意三个，便可建立方程组求出另外两 个. 6、等
16、比数列的前、等比数列的前 n 项和性质：项和性质： 设等比数列 n a中，首项为 1 a，公比为0q q ，则 （1）连续 m 项的和仍组成等比数列，即 12122 , mmmm aaaaaa 21223mmm aaa , 仍为等比数列（即 232 , mmmmm SSSSS成等差数列） ； （2）当1q 时， 1 11111 1 1 111111 n nnn n aq aaaaa Sqqq qqqqqq ， 设 1 1 a t q ，则 n n Stqt. 四、四、递推数列求通项的方法总结递推数列求通项的方法总结 1、递推数列的概念：、递推数列的概念： 一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把 由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列. 2、两个恒等式：、两个恒等式： 对于任意的数列 n a恒有： （1） 12132431nnn aaaaaaaaaa （2） 234 1 1231 ,0, n nn n aaaa aaanN aaaa 3、递推数列的类型以及求通项方法总结：、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一（类型一（公式法）公
