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1、复合函数求导,第四节 复合函数求导 法则及其应用,一、复合函数求导法则,二、初等函数的求导问题,三、一阶微分的形式不变性,四、隐函数的导数,五、对数求导法,六、参数形式的函数的求导公式,复合函数求导,一、复合函数求导法则,而函数 在 处可导，则复合函数,定理4.4.1 (复合函数求导法则 ) 设函数 在 可导,即,证明：由 在 可导也即可微,复合函数求导,又由 在 可导，因此,而,于是,复合函数求导,复合函数的求导法则可以写成,即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求,导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则,复合函数的微分公式为,复合函数求导,解,例4.4.1,推广,复合函数求导,
2、解,例4.4.2,例4.4.3,解,复合函数求导,二、初等函数的求导问题,1.常数和基本初等函数的导数公式,复合函数求导,2.函数的和、差、积、商的求导法则,复合函数求导,3.复合函数的求导法则,利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决,注意:初等函数的导数仍为初等函数,例4.4.4,解,复合函数求导,设函数 有导数,1）若x 是自变量时,三、一阶微分的形式不变性,2）若x是中间变量时，即是另一变量 t 的可微函数,则,复合函数求导,结论：不论 x 是自变量还是中间变量，函数,的微分形式总是,例4.4.5,设 ,求,解,例4.4.6,设 ，求,复合函数求导,四、隐函数的导数,解,定义4.4
3、.1,由方程 所确定的函数,称为隐函数,隐函数的显化,问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导,复合函数求导,隐函数求导法则,用复合函数求导法则直接对方程两边求导,或利用一阶微分的形式不变性对方程两边求微分,例4.4.7,的导数,解: 法一、方程两边对 x 求导 (注: y 看成 x 的函数,求由方程 确定的隐函数,复合函数求导,法二、方程两边同时求微分,例4.4.8,设曲线 C 的方程为,复合函数求导,求过 C 上点 的切线方程，并证明曲线 C 在该点,显然通过原点,解,所求切线方程为,的法线通过原点,复合函数求导,五、对数求导法,先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数,适用
4、范围,例4.4.9,复合函数求导,例4.4.10,复合函数求导,六、参数形式的函数的求导公式,定义4.4.2,若参数方程 确定 x 与 y 间的函数关系,复合函数求导,问题: 消参困难或无法消参的如何求导,即,由复合函数求导法则,复合函数求导,也可以直接求微分,两边相除，得,例4.4.11,求摆线 在 处的切线方程,解,复合函数求导,所求切线方程为,复合函数求导,七. 小结,复合函数求导法则,初等函数的求导问题,一阶微分的形式不变性,隐函数的导数,对数求导法,参数形式的函数的求导公式,1.常数和基本初等函数的导数公式,2.函数的和、差、积、商的求导法则,3.复合函数的求导法则,此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢你的支持，我们会努力做得更好
