[数学教案]函数的表示法_1

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1、1函数的表示法本资料为 WORD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 文 章来源课件 5Y k J.C om 1.2.2 函数的表示法（二）映射的概念一、内容与解析（一）内容：映射（二）解析：映射是两个集合 与 中，元素之间存在的某种对应关系.说其是一种特殊的对应，就是因为它只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应，而不允许存在“一对多”的对应.映射中只允许“一对一”与“多对一”这两种对应的特点，从 到 的映射 : 实际是要求集合 中的任一元素都必须对应于集合 中唯一的元素.但对集合 中的元素并无任何要求，即允许集合 中的元素在集合 中可能有一个元素与之对应，可能有两个或多个元素与之对应，

2、也可能没有元素与之对应.映射中对应法则 是有方向的，一般来说从集合 到集合 的映射与从集合 到集合 的映射是不同的.(4)我们可以把对应关系看成一面镜子，集合 中的元素在这面镜子中存在一个像，一个相对应的元素，原像则是集合 中的元素.这2样像和原像的概念就比较容易理解.并且映射中集合 的每一个元素在集合 中都有它的像，通过对应关系即通过镜子总存在像，而且像是唯一的，不会“照”出许多的像来，这是映射区别于一般对应的本质特征.二、目标及其解析：（一）教学目标（1）了解映射的概念及表示方法；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念（2）解析：重点把握映射与函数的区别。三、问题诊断分析函数与映射的区别与

3、联系(1)函数包括三要素:定义域、值域、两者之间的对应关系 ;映射包括三要素: 集合 A, 集合 B, 以及 A,B 之间的对应关系(2)函数定义中的两个集合为非空数集; 映射中两个集合中的元素为任意元素,如人、物、命题等都可以.(3)在函数中,对定义域中的每一个 ,在值域中都有唯一确定的函数值和它对应;在映射中, 对集合 A 中的任意元素 ,在集合 B 中都有唯一确定的像 和它对应.(4)在函数中,对值域中的每一个确定的函数值,在定义域中都有确定的自变量的值和它对应;在映射中, 对于集合 B 中的任一元素 ,在集合 A 中不一定有原像.(5)函数实际上就是非空数集 A 到非空数集 B 的一3

4、个映射 (6)通过右图我们可以清晰的看到这三者的关系 .四、教学支持条件分析在本节课一次递推的教学中，准备使用 PowerPoint 2003。因为使用 PowerPoint 2003，有利于提供准确、最核心的文字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路，节省老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。五、教学过程1. 教学映射概念： 先看几个例子，两个集合 A、B 的元素之间的一些对应关系，并用图示意, ，对应法则：开平方；， ，对应法则：平方；, , 对应法则：求正弦； 定义映射：一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x

5、，在集合B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 为从集合 A 到集合 B 的一个映射（mapping） 记作“ ”关键 : A 中任意，B 中唯一；对应法则 f. 分析上面的例子是否映射？举例日常生活中的映射实例？ 讨论：映射的一些对应情况？（一对一；多对一） 一对多是4映射吗？ 举例一一映射的实例 （一对一）2.教学例题： 出示例 1. 探究从集合 A 到集合 B 一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？A=P | P 是数轴上的点 ，B=R； A=三角形，B=圆；A= P | P 是平面直角体系中的点， ； A=高一某班学生，B= ？ （ 师生探究从 A 到 B 对应关系

6、辨别是否映射？一一映射？ 小结：A 中任意，B 中唯一） 讨论：如果是从 B 到 A 呢？ 练习：判断下列两个对应是否是集合 A 到集合 B 的映射？ A=1，2 ，3 ，4 ，B=3，4，5 ，6，7 ， 8，9，对应法则 ；，对应法则 ；， ， ；设 ；， 六、 类型题探究题型一 映射的判断例 1 下列集合 到集合 的对应中，判断哪些是 到 的映射? 判断哪些是 到 的一一映射?(1) ，对应法则 5(2) ， ， ， ， (3) ， ，对应法则 除以 2 得的余数(4) ， ， 对应法则【思维导图】【解答关键】根据给出的 f 分析这个对应是否为“一对一”与“多对一” ；若是则为映射，否则

7、不是，再观察是不是一对一的对应，若是则为一一映射.【规范解答】 (1)是映射，不是一一映射，因为集合 中有些元素(正整数) 没有原像(2)是映射，是一一映射不同的正实数有不同的唯一的倒数仍是正实数，任何一个正数都存在倒数 (3)是映射，因为集合 中不同元素对应集合 中相同的元素(4)是映射，不是一一映射，因为集合 中的元素(如-4，4)都对应集合 中的元素(2)【易错辨析】判断一个对应是不是映射或一一映射，应观察对应的特点；说明一个对应不是映射或一一映射，只须找出一个反例对于一一映射是一种特殊的映射，它的判断主要考虑：若A中的不同元素在 B 中有不同的像；B 中任何一个元素在 A 中都有原像，

8、则这个映射就是一 一映射. 【活学活用】1. 下列集合 到集合 的对应 是映射的是（ ）6A. ： 中的数平方；B. ： 中的数求平方根；C. ： 中的数取倒数；D. ： 中的数取绝对值；1A. 解析： B 中错误在集合 A 中的元素 1 在集合 B 中有两个元素-1，1 与之对应，因此不是映射.C，D 中错误都在于集合中有 0这个元素在集合 B 中没有相对应的元素.题型二 映射对应法则的应用例 2 已知 A=1， 2，3 ， ，B=4，7, , ,其中 N+.若 x A,y B,有对应关系 ： 是从集合 A 到集合 B 的一个映射，且 =4, =7,试求 的值.【解答关键】先通过已知条件求得

9、 ，再通过分析映射的两个集合中元素之间的关系，得出 m、n 之间的方程，解得相应的参数值.【规范解答】由 =4, =7,列方程组： 故对应法则为： .由此判断 A 中元素 3 的像是 或 . 若 =10，因 N+不可能成立,所以 =10,解得 =2 或 n= -5(舍去).又当集合 A 中的元素 的像是 时,即 =16, 解得 =5. 当集合 A 中的元素 的像是 时, 即 =10, 解得 =3.由元素唯一性知, =3 舍去 . 故 =3,q=1, =5, =3 或 =3,q=1, =5, =2. 7【归纳总结】通过该题，加深对映射的理解，加深对映射中对应法则的理解和应用.解好此题的关键是分清

10、原象和象各是谁，对应法则是什么，对应法则是如何把象与原象联系在一起的.映射是一种特殊的对应，函数是一种特殊的映射.【活学活用】2. 设 f : AB 是 A 到 B 的一个映射，其中A=B=（x ，y）|x，yR，f :（x ，y ） （x y，x+y ） ，求 A 中元素（1，2）的象和 B 中元素（1，2）的原象.2这是一个映射的问题，由已知（x ，y）的象为（xy ，x+y ） ，确定了对应法则.先求 A 中元素（1，2 ）的象.令 x=1，y=2，由题意得 xy=1 2= 3 ，x+y= 1+2=1，所以（1，2）的象为（3，1）;再求 B 中元素（1，2 ）的原象. 令 解得 所以（

11、1，2）的原象是（ ， ）.题型三 利用映射研究函数问题例 3 设 A=x0x2，B=y1y2 ，图中表示 A 到 B 的函数是 （ ）【解答关键】本题已知两个集合为数集，再根据图像观察是否为映射，便可得出是否为函数.8【规范解答】首先 C 图中，A 中同一个元素 x（除 x=2)与 B 中两个元素对应，它不是映射，当然更不是函数；其次，A、B 两图中，A 所对应的“象”的集合均为y0y2，而 y0y2 B=y1y2，故它们均不能构成 的函数从而答案选 D【易混辨析】本题根据映射观点下的函数定义直接求解考察函数图像与映射之间的关系，此类问题回到定义中去，牢牢掌握映射的概念，就很容易解决，而关于

12、映射知识点的考察，一般也是对其概念进行考察.函数首先必须是映射，是当集合 A 与 B 均为非空数集时的映射因此，判断一个对应是否能构成函数，应判断：集合A 与 B 是否为非空数集；f：AB 能否为一个映射另外，函数f：AB 中，象的集合 M 叫函数的值域，且 MB【活学活用】3. 图中表示的是从集合 到集合 的对应，其中能构成映射的是 ( ) 3.A 解析： 到 的一个对应能否构成 到 的映射的关键是：集合 中的任一元素都必须满足对应于集合 中唯一的元素. 因此，图象中必须满足对于 的每一个值， 必须有且只有唯一的值与之对应.不难得知应选 A. (二）小结七、 目标检测一、选择题91.设 是集

13、合 A 到 B 的映射，下列说法正确的是（ ）A、 A 中每一个元素在 B 中必有像 B、 B 中每一个元素在 A 中必有原像C、 B 中每一个元素在 A 中的原像是唯一的 D、B 是 A 中所在元素的像的集合1.A 解析：是对映射概念的判断，对于答案 B，D 集合 B 中的元素在集合 A 中不一定有原像，因此也不是集合 A 中所在元素的像的集合. 答案 C 自然也错.2.下列各对应关系中,是从 A 到 B 的映射的有( )A、 （2） （3） B、 （1） （4 ） C、 （2） （4） D、 （1） （3）2. D 解析：（ 1） （3 ）这两个图所表示的对应都符合映射的定义，对于（2）中

14、的元素 都对应着两个元素， （4）中的元素 没有元素与之对应.3.点 在映射 下的对应元素为 ，则点 在 作用下的对应元素为( )A. B. C. D. 3.C 解析： ， .4. 已知映射 f：AB，其中集合 A=-3，-2，-1，1，2 ，3，4，集合 B 中的元素都是 A 中元素在映射 f 下的像，且对任意 aA，在 B 中和它们对应的元素是|a|，则集合 B 中元素的个数是 （ ）A 4 B5 C6 D7104. A 解析：依题意，由 AB 的对应法则为 f：a|a| 于是，将集合 A 中的 7 个不同元素分别取绝对值后依次得3，2 ，1 ， 1，2 ，3， 4由集合元素的互异性可知，

15、B=1，2，3，4，它有 4 个元素，答案选 A二、填空题5.已知集合 A=x0x4，B=y0y2，下列从 A 到 B 的对应 f：f：xy= f：xy= f：xy= f ：xy= （1）其中不是映射的是 ； （2）其中是一一映射的是 5 （1）， （2） 解析：. 中当 x=4 时在集合 B 中找不到对应的像.中集合 B 中的像 x=2 找不到对应的原像 .6.已知集合 A=Z,B=x|x=2n1,n Z,C=R,且从 A 到 B 的映射是x2x-1,从 B 到 C 的映射是 x ,则从 A 到 C 的映射是_.6.x 解析：A 到 C 的映射为 x .7.若映射 f：AB 的像的集合是 Y，原像的集合是 X，则 X 与 A的关系是_ _，Y 和 B 的关系是_ _.7. A=X Y B 解析：是对映射概念的判断，显然 X 与 A 的关系是相等，因为 B 中每一个元素在 A 中不一定有原像，所以 Y 和 B 的关系是 Y B.三、解答题8.已知 ， ，且从 到 的映射满足 ，试确定这样的映射 的个数.8.因为从 到 的映射满足 ，所以11当 时，有 或 或 当 时，有 综上，从 到 的映射中满足 的映射 的个数是 4 个.9.已知映射 f：AB 中，A=B=(x