[数学教案]函数概念与基本初等函数_0

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1、1函数概念与基本初等函数本资料为 WORD 文档,请点击下载地址下载全文下载地址 文 章来源课件 5 Y k J.COm 函数概念与基本初等函数(一)函数1了解构成函数的要素,了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域 2理解函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法,能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。3了解分段函数,能用分段函数来解决一些简单的数学问题。4理解函数的单调性,会讨论和证明一些简单的函数的单调性;理解函数奇偶性的含义,会判断简单的函数奇偶性。5理解函数的最大(小)值及其几何意义,并能求出一些简单的函数的最大(小)值 6会运用函数图像理解和研究函数的性质 (二)指数函

2、数21了解指数函数模型的实际背景。2理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。3理解指数函数的概念,会求与指数函数性质有关的问题。4知道指数函数是一类重要的函数模型。(三)对数函数1理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用。2理解对数函数的概念;会求与对数函数性质有关的问题 3知道对数函数是一类重要的函数模型 4了解指数函数 与对数函数 互为反函数( ) 。(四)幂函数1了解幂函数的概念。2结合函数 的图像,了解它们的变化情况。(五)函数与方程1了解函数零点的概念,结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系

3、。2理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数 (六)函数模型及其应用1了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。32了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。3能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。 根据考试大纲的要求,结合 2009 年高考的命题情况,我们可以预测 2010 年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及,高考命题热点有以下两个方面:一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查,题型多以选择、

4、填空题的形式出现;二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体,以集合的语言和符号为表现形式,结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力,题型常以解答题的形式出现 函数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中,选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题,而且常考常新. 以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点:考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念,通过对实际问题的抽象分析,建立相应的函数模型并用来解决问题,是考试的热点

5、.考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题,渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.第 1 课时 函数及其表示4一、映射1映射:设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应关系 f,对于集合 A 中的 元素,在集合 B 中都有 元素和它对应,这样的对应叫做 到 的映射,记作 .2象与原象:如果 f:AB 是一个 A 到 B 的映射,那么和 A 中的元素 a 对应的 叫做象, 叫做原象。二、函数1定义:设 A、B 是 ,f:AB 是从 A 到 B 的一个映射,则映射f:AB 叫做 A 到 B 的 ,记作 .2函数的三要素为 、 、 ,两个函数当且仅当 分别相同时,二者才能称为同一函数。3函数的

6、表示法有 、 、 。例 1.下列各组函数中,表示同一函数的是( ).A. B. C. D. 解: C变式训练 1:下列函数中,与函数 y=x 相同的函数是 ( )A.y= B.y=( )2 C.y=lg10x D.y= 解: C例 2.给出下列两个条件:(1 )f( +1)=x+2 ;(2)f(x)为二次函数5且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出 f(x)的解析式.解:( 1)令 t= +1,t1,x=(t-1 )2.则 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即 f(x)=x2-1,x1 ,+).(2)设 f(x)=ax2+bx+c (a0),f(x+2)=

7、a(x+2)2+b(x+2)+c,则 f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2. , ,又 f(0)=3 c=3,f(x)=x2-x+3.变式训练 2:(1)已知 f( )=lgx ,求 f(x) ;(2)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f (x-1)=2x+17,求 f(x) ;(3)已知 f(x)满足 2f(x )+f( )=3x,求 f(x).解: (1)令 +1=t,则 x= ,f(t)=lg ,f(x )=lg ,x(1,+).(2)设 f(x)=ax+b,则3f(x+1)-2f (x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x

8、+17,a=2, b=7,故 f(x )=2x+7.(3)2f(x)+f( )=3x, 把 中的 x 换成 ,得 2f( )+f(x )= 2-得 3f(x)=6x- ,f(x)=2x- .例 3. 等腰梯形 ABCD 的两底分别为AD=2a,BC=a,BAD=45,作直线 MNAD 交 AD 于 M,交6折线 ABCD 于 N,记 AM=x,试将梯形 ABCD 位于直线 MN 左侧的面积 y 表示为 x 的函数,并写出函数的定义域 .解:作 BHAD,H 为垂足,CGAD,G 为垂足,依题意,则有 AH= ,AG= a.(1)当 M 位于点 H 的左侧时,NAB ,由于 AM=x,BAD=4

9、5.MN=x.y=SAMN= x2(0x ).(2)当 M 位于 HG 之间时,由于 AM=x,MN= ,BN=x- .y=S AMNB = x+(x- ) = ax- (3)当 M 位于点 G 的右侧时,由于 AM=x,MN=MD=2a-x.y=S ABCD-SMDN= 综上: y= 变式训练 3:已知函数 f(x)= (1)画出函数的图象;(2)求 f(1),f(-1),f 的值.解:( 1)分别作出 f(x)在 x0,x=0,x0 段上的图象,如图所示,作法略.(2)f(1)=12=1,f(-1)=- f =f(1)=1.1了解映射的概念,应紧扣定义,抓住任意性和唯一性2函数的解析式常用

10、求法有:待定系数法、换元法(或凑配法) 、解方程组法使用换元法时,要注意研究定义域的变化73在简单实际问题中建立函数式,首先要选定变量,然后寻找等量关系,求得函数的解析式,还要注意定义域若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同,可用分段函数来表示第 2 课时 函数的定义域和值域一、定义域:1函数的定义域就是使函数式 的集合.2常见的三种题型确定定义域: 已知函数的解析式,就是 . 复合函数 f g(x)的有关定义域,就要保证内函数 g(x)的 域是外函数 f (x)的 域.实际应用问题的定义域,就是要使得 有意义的自变量的取值集合.二、值域:1函数 yf (x)中,与自变量 x 的值 的集合.

11、2常见函数的值域求法,就是优先考虑 ,取决于 ,常用的方法有:观察法;配方法;反函数法;不等式法;单调性法;数形法;判别式法;有界性法;换元法(又分为 法和 法)例如: 形如 y ,可采用 法; y ,可采用 法或 法; yaf (x)2bf (x)c,可采用 法; yx ,可采用 法;8 yx ,可采用 法; y 可采用 法等.例 1. 求下列函数的定义域:(1)y= ; (2)y= ; (3)y= .解:( 1)由题意得 化简得 即 故函数的定义域为x|x0 且 x-1.(2)由题意可得 解得 故函数的定义域为x|- x 且 x .(3)要使函数有意义,必须有即 x1,故函数的定义域为1

12、,+).变式训练 1:求下列函数的定义域:(1)y= +(x-1)0 ; (2)y= +(5x-4)0; (3)y= +lgcosx;解:( 1)由 得 所以-3x2 且 x1.故所求函数的定义域为(-3,1)(1,2).(2)由 得 函数的定义域为 (3)由 ,得 借助于数轴,解这个不等式组,得函数的定义域为 例 2. 设函数 y=f(x)的定义域为0 ,1 ,求下列函数的定义域.(1)y=f(3x); (2)y=f( );(3)y=f( ; (4)y=f(x+a)+f(x-a).解:( 1)03x1,故 0x ,y=f(3x)的定义域为0, .9(2)仿(1)解得定义域为1,+).(3)由

13、条件,y 的定义域是 f 与 定义域的交集.列出不等式组 故 y=f 的定义域为 .()由条件得 讨论:当 即 0a 时,定义域为a,1-a ;当 即- a0时,定义域为-a,1+a.综上所述:当 0a 时,定义域为a,1-a ;当- a0时,定义域为-a,1+a.变式训练 2:若函数 f(x)的定义域是0 , 1 ,则 f(x+a)f(x-a)(0 a )的定义域是 ( ) A. B.a,1-a C.-a,1+a D.0,1 解: B 例 3. 求下列函数的值域:(1)y= (2)y=x- ; (3)y= .解:( 1)方法一 (配方法)y=1- 而 0 值域为 .方法二 (判别式法)由 y

14、= 得(y-1) y=1时, 1.又 R, 必须 =(1-y)2-4y(y-1)0. 函数的值域为 .(2)方法一 (单调性法)10定义域 ,函数 y=x,y=- 均在 上递增,故 y 函数的值域为 .方法二 (换元法)令 =t,则 t0,且 x= y=- (t+1)2+1 (t0),y(-, .(3)由 y= 得,ex= ex0,即 0,解得-1y1.函数的值域为 y|-1y 1.变式训练 3:求下列函数的值域:(1)y= ; (2)y=|x| .解:( 1)(分离常数法)y=- , 0,y- .故函数的值域是y|yR,且 y- .(2)方法一 (换元法 )1-x20,令 x=sin ,则有

15、 y=|sin cos |= |sin2 |,故函数值域为0, .方法二 y=|x| 0y 即函数的值域为 .例 4若函数 f(x)= x2-x+a 的定义域和值域均为1 ,b (b1) ,求 a、b 的值.解: f(x)= (x-1)2+a- . 其对称轴为 x=1,即1,b为 f(x)的单调递增区间.f(x)min=f(1)=a- =1 11f(x)max=f (b ) = b2-b+a=b 由 解得 变式训练 4:已知函数 f(x)=x2-4ax+2a+6 (xR).(1)求函数的值域为0,+)时的 a 的值; (2)若函数的值均为非负值,求函数 f(a)=2-a|a+3|的值域.解: (1) 函数的值域为0 ,+),=16a2-4(2a+6)=0 2a2-a-3=0a=-1或 a= .(2)对一切 xR,函数值均非负 ,=8

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