《[数学教案]函数、方程及不等式的关系复习提纲_1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[数学教案]函数、方程及不等式的关系复习提纲_1（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1函数、方程及不等式的关系复习提纲函数、方程及不等式的关系复习提纲高考要求三个 “二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具 高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关 本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法重难点归纳1 二次函数的基本性质(1)二次函数的三种表示法y=ax2+bx+c;y=a(xx1)(xx2);y=a(xx0)2+n(2)当 a0,f(x)在区间p,q 上的最大值 M，最小值 m,令x0= (p+q)2若 p,则 f(p)=m,f
2、(q)=M;若 p x0,则 f( )=m,f(q)=M;若 x0 q,则 f(p)=M,f( )=m;若 q,则 f(p)=M,f(q)=m2 二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的实根分布及条件(1)方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大，另一根比 r 小 af(r)0;(2)二次方程 f(x)=0 的两根都大于 r (3)二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内有两根(4)二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内只有一根 f(p)f(q)0,或 f(p)=0(检验)或 f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立(5)方程 f(x)=0 两根的一根大于 p,另一根小于
3、 q(pq)3 二次不等式转化策略(1)二次不等式 f(x)=ax2+bx+c0 的解集是(, ),+ a0 时，f()f() |+ |+ |,当 a0 时，f()f() |+ |+ |;(3)当 a0 时，二次不等式 f(x)0 在p,q恒成立或(4)f(x)0 恒成立典型题例示范讲解例 1 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 和一次函数 g(x)=bx ，其中a、 b、c 满足 abc,a+b+c=0,(a,b,cR)3(1)求证 两函数的图象交于不同的两点 A、B；(2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 的长的取值范围命题意图 本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用
4、能力知识依托 解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合错解分析 由于此题表面上重在“形” ，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”技巧与方法 利用方程思想巧妙转化(1)证明 由 消去 y 得 ax2+2bx+c=0=4b2 4ac=4(a c)24ac=4(a2+ac+c2)=4(a+ c2a+b+c=0,abc,a0,c0,0,即两函数的图象交于不同的两点(2)解 设方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1 和 x2,则 x1+x2= ,x1x2=|A1B1|2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2abc,a+b
5、+c=0,a0,cacc,解得 ( 2, ) 的对称轴方程是(2, )时，为减函数|A1B1|2(3,12),故|A1B1|( )4例 2 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 m 的范围(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的范围命题意图 本题重点考查方程的根的分布问题知识依托 解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义错解分析 用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点技巧与方法 设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制解 (1
6、)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(1，0)和(1 ， 2)内，画出示意图，得(2)据抛物线与 x 轴交点落在区间 (0，1)内，列不等式组(这里 0m1 是因为对称轴 x=m 应在区间(0，1) 内通过)例 3 已知对于 x 的所有实数值，二次函数 f(x)=x24ax+2a+12(aR) 的值都是非负的，求关于 x 的方程 =|a1|+2 的根的取值范围解 由条件知 0,即(4a ）2 4(2a+12)0, a25(1)当 a1 时，原方程化为x=a2+a+6,a2+a+6=(a )2+a= 时，xmin= ,a= 时，xmax= x(2)当 1
7、a2 时，x=a2+3a+2=(a+ )2当 a=1 时，xmin=6, 当 a=2 时，xmax=12,6x12综上所述, x12学生巩固练习1 若不等式(a2)x2+2(a2)x 40),若 f(m)0,则实数 p 的取值范围是_4 二次函数 f(x)的二次项系数为正，且对任意实数 x 恒有 f(2+x)=f(2x),若 f(12x2)f(1+2xx2),则 x 的取值范围是_5 已知实数 t 满足关系式 (a0 且 a1)(1)令 t=ax,求 y=f(x)的表达式；6(2)若 x(0,2 时，y 有最小值 8，求 a 和 x 的值6 如果二次函数 y=mx2+(m3)x+1 的图象与
8、x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求 m 的取值范围7 二次函数 f(x)=px2+qx+r 中实数 p、q 、r 满足 =0,其中m0,求证(1)pf( )0,则 f(0)0,而 f(m)0,m(0,1),m10,f(m 1)0答案 A3 解析 只需 f(1)=2p23p+90 或 f(1)= 2p2+p+10 即3p 或 p1 p( 3, )答案 (3 ， ）4 解析 由 f(2+x)=f(2x)知 x=2 为对称轴，由于距对称轴较近7的点的纵坐标较小，|12x22|1+2xx22|,2 x0答案 2x05 解 (1）由 loga 得 logat3=logty3logta由 t=ax
9、知 x=logat，代入上式得 x3= ,logay=x23x+3，即 y=a (x0)(2)令 u=x23x+3=(x )2+ (x0),则 y=au若 0a1,要使 y=au 有最小值 8，则 u=(x )2+ 在(0，2 上应有最大值，但 u 在(0，2 上不存在最大值若 a1,要使 y=au 有最小值 8，则 u=(x )2+ ,x(0,2 应有最小值当 x= 时，umin= ,ymin=由 =8 得 a=16 所求 a=16,x=6 解 f(0)=10(1)当 m 0 时，二次函数图象与 x 轴有两个交点且分别在 y 轴两侧，符合题意(2）当 m0 时，则 解得 0m1综上所述，m
10、的取值范围是m|m1 且 m07 证明 (1),由于 f(x)是二次函数，故 p0,又 m0,所以，pf( )0(2)由题意，得 f(0)=r,f(1)=p+q+r8当 p0 时，由(1）知 f( )0若 r0,则 f(0)0,又 f( )0, 所以 f(x)=0 在(0 ， )内有解;若 r0,则 f(1)=p+q+r=p+(m+1)=( )+r= 0,又 f( )0,所以 f(x)=0 在( ,1)内有解当 p0 时同理可证8 解 (1）设该厂的月获利为 y,依题意得y=(1602x)x (500+30x)= 2x2+130x500由 y1300 知2x2+130x5001300x265x+9000，(x 20)(x45)0，解得 20x45当月产量在 2045 件之间时，月获利不少于 1300 元(2）由(1）知 y=2x2+130x500= 2(x )2+1612 5x 为正整数，x=32 或 33 时，y 取得最大值为 1612 元，当月产量为 32 件或 33 件时，可获得最大利润 1612 元 函数、方程及不等式的关系-刘琼
