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1、微分方程稳定性理论简介1、一阶自治方程 （）使代数方程的实根称为（1）的平衡点或奇点。也是方程（1）的解。设x(t)是方程的解，若从的 某邻域的任一初值出发都有，则称是方程(1)的稳定平衡点（渐近稳定）；否则，称是方程(1) 的不稳定平衡点。例 判断平衡点稳定性的方法（1） 间接法：利用定义，需要求出方程的解（2） 直接法：不求方程的解方程（）的近似方程为：（）对于一阶方程（）与（）的平衡点的稳定性有如下结论：若，则是（）与（）的稳定平衡点若，则是（）与（）的不稳定平衡点2、二阶方程可用两个一阶方程表示为 （） 二维（平面）自治系统使 的实根称为（）的平衡点。同样，若存在的某个邻域的任一初值出
2、发，当时，则称是稳定的平衡点。应用直接法讨论（）的稳定性，先看线性常系数方程 （） 二维（平面）线性自治系统系数矩阵记做 ，设，此时（）有唯一平衡点。它的稳定性由（）的特征方程 的根所决定。结论： 进一步，令,，则特征方程为，特征根为1)i) ii) 2) 3) 根据特征方程的系数判断平衡点的稳定性准则：若则平衡点稳定；若则平衡点不稳定。对于一般的非线性方程（），可以用线性近似方法判断平衡点的稳定性。在点将和做Taylor展开，只取一次项，得（）的近似线性方程 （）令，则上式可化为 （）系数矩阵记作 特征方程的系数为 ，点对于方程（）的稳定性可由上面的准则决定。若方程（）的特征根不为零或实部部不为零，则点对于方程（）的稳定性与对于近似方程（）的稳定性相同。
