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1、微分方程稳定性理论简介1、一阶自治方程 ()使代数方程的实根称为(1)的平衡点或奇点。也是方程(1)的解。设x(t)是方程的解,若从的 某邻域的任一初值出发都有,则称是方程(1)的稳定平衡点(渐近稳定);否则,称是方程(1) 的不稳定平衡点。例 判断平衡点稳定性的方法(1) 间接法:利用定义,需要求出方程的解(2) 直接法:不求方程的解方程()的近似方程为:()对于一阶方程()与()的平衡点的稳定性有如下结论:若,则是()与()的稳定平衡点若,则是()与()的不稳定平衡点2、二阶方程可用两个一阶方程表示为 () 二维(平面)自治系统使 的实根称为()的平衡点。同样,若存在的某个邻域的任一初值出
2、发,当时,则称是稳定的平衡点。应用直接法讨论()的稳定性,先看线性常系数方程 () 二维(平面)线性自治系统系数矩阵记做 ,设,此时()有唯一平衡点。它的稳定性由()的特征方程 的根所决定。结论: 进一步,令,,则特征方程为,特征根为1)i) ii) 2) 3) 根据特征方程的系数判断平衡点的稳定性准则:若则平衡点稳定;若则平衡点不稳定。对于一般的非线性方程(),可以用线性近似方法判断平衡点的稳定性。在点将和做Taylor展开,只取一次项,得()的近似线性方程 ()令,则上式可化为 ()系数矩阵记作 特征方程的系数为 ,点对于方程()的稳定性可由上面的准则决定。若方程()的特征根不为零或实部部不为零,则点对于方程()的稳定性与对于近似方程()的稳定性相同。