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1、空间向量与立体几何一.选择题 1. 在下列命题中：若向量共线，则向量所在的直线平行；若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；若三个向量两两共面，则向量共面；已知是空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x,y,z使得；其中正确的命题的个数是 （ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）32. 与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是 （ ）（A）（）和（）； （B）（）；（C）（）和（）； （D）（）；3. 已知A、B、C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，则下列条件中，能得到M平面ABC的充分条件是 （ ）（A）； （B）；（C）； （D）4. 已知点B是点A（3，7，-4）
2、在xOz平面上的射影，则等于 （ ） （A）（9，0，16） （B）25 （C）5 （D）135. 设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是（ ）A（-1，-2，5） B（-1,1,-1） C（1, 1,1） D（1，-1，-1）6. 如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB=BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为 （ ）（A）60 （B）90 （C）105 （D）757. 到定点的距离小于或等于1的点集合为（ ） A. B. C. D.8. 已知均为单位向量,它们的夹角为60,那么等于（ ）A B C D49. 在平面直角坐标系中
3、, ,沿x轴把平面直角坐标系折成120的二面角后,则线段AB的长度为（ ） A B C D10. 已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二填空题11. 若空间三点A（1，5，-2），B（2，4，1），C（p,3,q+2）共线，则p=_,q=_。12. 设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E(如图)现将ADE沿DE折起，使二面角ADEB为45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_ 13. 如图，PA平面ABC，ACB=90且PA=AC
4、=BC=a则异面直线PB与AC所成角的余弦值等于_；14.已知，若共同作用于一物体上，使物体从点M（1，-2，1）移动到N（3，1，2），则合力所作的功是 .15. 已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为,则侧面与底面所成的二面角等于 .题号 1 2345678910题号题号1112131415题号三解答题16. 设向量并确定的关系，使轴垂直17. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P：PA=DQ：QB=5：12，（1） 求线段PQ的长度；（2） 求证PQAD； （3） 求证：PQ/平面CDD1C1； 18. 如图，在四棱锥P-ABC
5、D中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD,AP=AB=2,BC=2，E，F分别是AD，PC的中点 （）证明：PC平面BEF；（）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。19. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高 ，E为AD中点（1） 证明：PEBC（2） 若APB=ADB=60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值20. 如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且SA底面ABCD,若边BC上存在异于B,C的一点P,使得. (1)求a的最大值; (2)当a取最大值时,求异面直线AP与SD所成角的大小; (3)当a
6、取最大值时,求平面SCD的一个单位法向量及点P到平面SCD的距离.21. 如图所示,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA平面ABCD,PA=2,现有数据:; (1)当在BC边上存在点Q,使PQQD时,a可能取所给数据中的哪些值?请说明理由; (2)在满足(1)的条件下,a取所给数据中的最大值时,求直线PQ与平面ADP所成角的正切值; (3)记满足(1)的条件下的Q点为Qn(n=1,2,3,),若a取所给数据的最小值时,这样的点Qn有几个?试求二面角Qn-PA-Qn+1的大小;答案1-5 AABBB 6-10 BACBB11. 3，2 12. 13. 14. 14 15. 3016. 解：（
7、9,15,-12）-(4,2,16)=(5,13,-28)(3,5,-4)(2,1,8)=6+5-32=-21由即当满足0即使与z轴垂直.17. 解：以D为坐标原点。DA、DC、DD1分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系。由于正方体的棱长为1，所以D（0，0，0），D1（0，0，1），B（1，1，0），A（1，0，0），P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P：PA=DQ：QB=5：12，P，Q（），所以（1）；（2），PQAD；（3），又平面CDD1C1，PQ平面CDD1C1，PQ/平面CDD1C1；18. 解法一 （）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP算在直线分别为x，y
8、，z轴建立空间直角坐标系。AP=AB=2,BC=AD=22,四边形ABCD是矩形。A，B，C，D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 22,0)，D(0，22，0)，P(0,0,2)又E，F分别是AD，PC的中点，E(0，2，0),F(1，2，1)。=（2，22，-2）=（-1，2，1）=（1,0,1），=-2+4-2=0，=2+0-2=0，PCBF,PCEF,BFEF=F,来源:Zxxk.ComPC平面BEF（II）由（I）知平面BEF的法向量平面BAP 的法向量 设平面BEF与平面BAP的夹角为，则=45， 平面BEF与平面BAP的夹角为45解法二 （I）连接PE，EC在
9、PA=AB=CD, AE=DE, PE= CE, 即PEC 是等腰三角形，又F是PC 的中点，EFPC,又，F是PC 的中点，BFPC.来源:学科网ZXXK又19.解：以为原点， 分别为轴，线段的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则（）设 则 可得 因为所以 （）由已知条件可得 设 为平面的法向量 则 即因此可以取，由，可得 所以直线与平面所成角的正弦值为20. 解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为: A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),设P(a,x,0). (0x2) (1) 由得: 即: 当且仅当x=1时,a有最大值
10、为1.此时P为BC中点;(2) 由(1)知: 异面直线AP与SD所成角的大小为 (3) 设是平面SCD的一个法向量,由得平面SCD的一个单位法向量又在方向上的投影为点P到平面SCD的距离为21.解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为: A(0,0,0,),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),设Q(a,x,0).(0x2) (1) 由PQQD得在所给数据中,a可取和两个值. (2) 由(1)知,此时x=1,即Q为BC中点, 点Q的坐标为(1,1,0) 从而又为平面ADP的一个法向量, ,直线PQ与平面ADP所成角的正切值为 (3) 由(1)知,此时,即满足条件的点Q有两个, 其坐标为PA平面ABCD,PAAQ1,PAAQ2,Q1AQ2就是二面角Q1-PA-Q2的平面角.由,得Q1AQ2=30,二面角Q1-PA-Q2的大小为30.
