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1、空间向量与立体几何一.选择题 1. 在下列命题中:若向量共线,则向量所在的直线平行;若向量所在的直线为异面直线,则向量一定不共面;若三个向量两两共面,则向量共面;已知是空间的三个向量,则对于空间的任意一个向量总存在实数x,y,z使得;其中正确的命题的个数是 ( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)32. 与向量(-3,-4,5)共线的单位向量是 ( )(A)()和(); (B)();(C)()和(); (D)();3. 已知A、B、C三点不共线,点O为平面ABC外的一点,则下列条件中,能得到M平面ABC的充分条件是 ( )(A); (B);(C); (D)4. 已知点B是点A(3,7,-4)
2、在xOz平面上的射影,则等于 ( ) (A)(9,0,16) (B)25 (C)5 (D)135. 设平面内两个向量的坐标分别为(1,2,1)、(-1,1,2),则下列向量中是平面的法向量的是( )A(-1,-2,5) B(-1,1,-1) C(1, 1,1) D(1,-1,-1)6. 如图所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为 ( )(A)60 (B)90 (C)105 (D)757. 到定点的距离小于或等于1的点集合为( ) A. B. C. D.8. 已知均为单位向量,它们的夹角为60,那么等于( )A B C D49. 在平面直角坐标系中
3、, ,沿x轴把平面直角坐标系折成120的二面角后,则线段AB的长度为( ) A B C D10. 已知,表示两个不同的平面,m为平面内的一条直线,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二填空题11. 若空间三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(p,3,q+2)共线,则p=_,q=_。12. 设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点,DEAB于E(如图)现将ADE沿DE折起,使二面角ADEB为45,此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B,则M、N的连线与AE所成角的大小等于_ 13. 如图,PA平面ABC,ACB=90且PA=AC
4、=BC=a则异面直线PB与AC所成角的余弦值等于_;14.已知,若共同作用于一物体上,使物体从点M(1,-2,1)移动到N(3,1,2),则合力所作的功是 .15. 已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为,则侧面与底面所成的二面角等于 .题号 1 2345678910题号题号1112131415题号三解答题16. 设向量并确定的关系,使轴垂直17. 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1,P、Q分别是线段AD1和BD上的点,且D1P:PA=DQ:QB=5:12,(1) 求线段PQ的长度;(2) 求证PQAD; (3) 求证:PQ/平面CDD1C1; 18. 如图,在四棱锥P-ABC
5、D中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,E,F分别是AD,PC的中点 ()证明:PC平面BEF;()求平面BEF与平面BAP夹角的大小。19. 如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,ABCD,ACBD,垂足为H,PH是四棱锥的高 ,E为AD中点(1) 证明:PEBC(2) 若APB=ADB=60,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值20. 如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且SA底面ABCD,若边BC上存在异于B,C的一点P,使得. (1)求a的最大值; (2)当a取最大值时,求异面直线AP与SD所成角的大小; (3)当a
6、取最大值时,求平面SCD的一个单位法向量及点P到平面SCD的距离.21. 如图所示,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA平面ABCD,PA=2,现有数据:; (1)当在BC边上存在点Q,使PQQD时,a可能取所给数据中的哪些值?请说明理由; (2)在满足(1)的条件下,a取所给数据中的最大值时,求直线PQ与平面ADP所成角的正切值; (3)记满足(1)的条件下的Q点为Qn(n=1,2,3,),若a取所给数据的最小值时,这样的点Qn有几个?试求二面角Qn-PA-Qn+1的大小;答案1-5 AABBB 6-10 BACBB11. 3,2 12. 13. 14. 14 15. 3016. 解:(
7、9,15,-12)-(4,2,16)=(5,13,-28)(3,5,-4)(2,1,8)=6+5-32=-21由即当满足0即使与z轴垂直.17. 解:以D为坐标原点。DA、DC、DD1分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系。由于正方体的棱长为1,所以D(0,0,0),D1(0,0,1),B(1,1,0),A(1,0,0),P、Q分别是线段AD1和BD上的点,且D1P:PA=DQ:QB=5:12,P,Q(),所以(1);(2),PQAD;(3),又平面CDD1C1,PQ平面CDD1C1,PQ/平面CDD1C1;18. 解法一 ()如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP算在直线分别为x,y
8、,z轴建立空间直角坐标系。AP=AB=2,BC=AD=22,四边形ABCD是矩形。A,B,C,D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 22,0),D(0,22,0),P(0,0,2)又E,F分别是AD,PC的中点,E(0,2,0),F(1,2,1)。=(2,22,-2)=(-1,2,1)=(1,0,1),=-2+4-2=0,=2+0-2=0,PCBF,PCEF,BFEF=F,来源:Zxxk.ComPC平面BEF(II)由(I)知平面BEF的法向量平面BAP 的法向量 设平面BEF与平面BAP的夹角为,则=45, 平面BEF与平面BAP的夹角为45解法二 (I)连接PE,EC在
9、PA=AB=CD, AE=DE, PE= CE, 即PEC 是等腰三角形,又F是PC 的中点,EFPC,又,F是PC 的中点,BFPC.来源:学科网ZXXK又19.解:以为原点, 分别为轴,线段的长为单位长, 建立空间直角坐标系如图, 则()设 则 可得 因为所以 ()由已知条件可得 设 为平面的法向量 则 即因此可以取,由,可得 所以直线与平面所成角的正弦值为20. 解:建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为: A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),设P(a,x,0). (0x2) (1) 由得: 即: 当且仅当x=1时,a有最大值
10、为1.此时P为BC中点;(2) 由(1)知: 异面直线AP与SD所成角的大小为 (3) 设是平面SCD的一个法向量,由得平面SCD的一个单位法向量又在方向上的投影为点P到平面SCD的距离为21.解:建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为: A(0,0,0,),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),设Q(a,x,0).(0x2) (1) 由PQQD得在所给数据中,a可取和两个值. (2) 由(1)知,此时x=1,即Q为BC中点, 点Q的坐标为(1,1,0) 从而又为平面ADP的一个法向量, ,直线PQ与平面ADP所成角的正切值为 (3) 由(1)知,此时,即满足条件的点Q有两个, 其坐标为PA平面ABCD,PAAQ1,PAAQ2,Q1AQ2就是二面角Q1-PA-Q2的平面角.由,得Q1AQ2=30,二面角Q1-PA-Q2的大小为30.