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1、相似三角形中的几何动点问题模型专题汇总相似三角形中的几何动点问题模型专题汇总这节课我们学什么1.动点函数型-横竖型问题2.动点函数型-斜线型问题3.动点几何型-二次相似问题4.动点几何形-A-A问题知识点梳理1.本专项的前半部分为二次函数中动点相似三角形之函数型，主要为有一对等角的两个三角形相似时，对等角的夹边作讨论的题型，简称S.A.S型.题型分为横竖型和斜线型两大类：横竖型：动点在平行于坐标轴的直线上；斜线型：动点在倾斜的直线上.（等角类型分为锐角、钝角；等角的位置有公共角、对顶角、内错角等，还可通过三角比的计算得到等角.）注：求斜线上的点坐标方法可以采用代数方法（两点间距离公式），还可以
2、用几何方法构造相似三角形或是三角比来求解.2.本专项的后半部分为二次函数中动点相似三角形之几何题型分为A-A和两次相似两大类：A-A：确定一组相等的角，讨论分析另一组角，可以结合等腰三角形的性质或者锐角三角比；两次相似：借助第一次证明的相似三角形相等的角，结合已知条件证明第二次相似典型例题分析1、动点横竖型问题例1.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，二次函数214y x bx c =-+的图像经过点()4,0A 、()0,2C （1）试求这个二次函数的解析式，并判断点()2,0B -是否在该函数的图像上； （2）设所求函数图像的对称轴与x 轴交于点D ，点E 在对称轴上，若以点C 、D 、E
3、 为顶点的三角形与ABC ?相似，试求点E 的坐标 【答案：（1）c bx x y +-=241过点40A （，）、02C （，） 2,21=c b 211242y x x =-+当2x =-时，0y = 点(2,0)B -在该二次函数的图像上；（2）二次函数的对称轴为直线1x = D 点E 在对称轴上，且对称轴平行y 轴 OCD CDE =又6AB =，AC =CD2OC =，1OD =易得OCD OAC ?OCD OAC =， 从而CDE OAC =若以点C 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ?相似 则有以下两种情况：A C Ox y 1）当AB DC AC DE =时，即6552=DE
4、 ，解得：35=DE 点E 的坐标为)35,1( ）当AC DC AB DE =时，即5256=DE ，解得：3=DE 点E 的坐标为)3,1( 综上点E 的坐标为)35,1(或)3,1(.】 例2.如图，已知在ABC ?中，90A =?，AB AC =直线DE BC /，分别交边AB 、AC 于点D 和点E ，P 是线段DE 上的一个动点，过点P 分别作PM BC ，PF AB ，PG AC ，垂足分别为点M 、F 、G ，设BM x =，四边形AFPG 的面积为y （1）求PM 的长；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结MF 、MG ，当PMF ?与?相似时，求B
5、M 的长【答案：解：（1）过点A 作AH BC ，垂足为点H ，交DE 于点Q 90BAC =?，AB AC =6BC = 又AH BC ，132BH CH BC =，Q 是ABC ?的重心113QH AH = DE BC /，PM BC ，AH BC ，1PM QH =（2）延长FP ，交BC 于点N 90BAC =?，AB AC =，45B =?于是，由FN AB ，得45PNM =?又由PM BC ，得1MN PM =，PNMP B CDEF G1BN BM MN x =+=+，1)FB FN x =+1)AF AB FB x x =-=+=-，1)1)FP FN PN x x =-=+
6、- PF AB ，PG AC ，90BAC =?，90BAC PFA PGA =?四边形AFPG 是矩形1)y FP AF x x =?=-， 即所求函数解析式为215322y x x =-+-定义域为15x （3）四边形AFPG 是矩形，)5(22x AF PG -= 由135FPM GPM =?，可知，当PMF ?与PMG ?相似时，有两种情况：PFM PGM =或PFM PMG =（）如果PFM PGM =，那么PF PMPG PM=即得PF PG =1)x x -=-解得3x =即得3BM = （）如果PFM PMG =，那么PF PMPM PG=即得2PM PF PG =?1)1x
7、x -=解得13x =，23x =即得3BM =或3BM =PMF ?与PMG ?相似时，BM 的长等于33或3】 2、 动点斜线型问题例3.已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数213y x bx c =-+的图像经过点1()1,A -和点()2,2B ，该函数图像的对称轴与直线OA 、OB 分别交于点C 和点D （1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴； （2）求证：ABO CBO =；（3）如果点P 在直线AB 上，且POB ?与BCD ?相似，求点P 的坐标 【答案：（1）解：由题意，得解得所求二次函数的解析式为对称轴为直线1x = （2）证明：由直线OA 的表达式y x =
8、-，得点C 的坐标为11-（，），A B B C =又，O A O C =A B O C B O =（3）解：由直线OB 的表达式y x =，得点D 的坐标为(1,1) 由直线AB 的表达式，得直线与x 轴的交点E 的坐标为40-（，）POB ?与BCD ?相似，ABO CBO = BOP BDC =或BOP BCD =10=AB 10=BC 2=OA 2=OC（i ）当BOP BDC =时，由135BDC =?，得135BOP =? 点P 不但在直线AB 上，而且也在x 轴上，即点P 与点E 重合点P 的坐标为40-（，）（ii ）当BOP BCD =时，由POB BCD ?，得而，又，作P
9、H x 轴，垂足为点H ，BF x 轴，垂足为点F PH BF /，而2BF =，6EF =，点P 的坐标为48(,)55综上所述，点P 的坐标为(4,0)-或48(,)55】3、 动点几何型二次相似问题例4.如图，在Rt ABC ?中，90ACB =?，CE 是斜边AB 上的中线，10AB =，4tan 3A =，点P 是CE 延长线上的一动点，过点P 作PQ CB ，交CB 延长线于点Q ，设,EP x BQ y = （1）求y 关于x 的函数关系式及定义域；（2）联结PB ，当PB 平分CPQ 时，求PE 的长；（3）过点B 作BF AB 交PQ 于F ，当BEF ?和QBF ?相似时，
10、求x 的值22=BO 2=BD 10=BC 102=BE【答案：（1）在Rt ABC 中，?=90ACB ，34tan =AC BC A ，10=AB 8=BC ，6=AC CE 是斜边AB 上的中线，521=AB BE CE ABC PCB =，?=90ACB PQC BQC ABC ?， 54=AB BC PC CQ ，即5458=+x y 445y x =-，定义域为5x （2）过点B 作BM PC ，垂足为M PB 平分CPQ ，PQ BQ ，垂足为Q y BQ BM =52485353=?=BC BM 524454=-x 11=x （3）?=90ACB Q ，A QBF = BQF
11、ABC ? 当BEF ?和QBF ?相似时，可得BEF ?和ABC ?也相似 分两种情况： 1)当A FEB =时，在Rt FBE ?E 中，?=90FBE ，5=BE ，y BF 35= 534)454(35?=-x ，解得10=x ； 2)当ABC FEB =时，在Rt FBE ?中，?=90FBE ，5=BE ，y BF 35=543)454(35?=-x ，解得16125=x ； 综合16125=x 或10】 4、 动点几何型A -A 问题例5. 如图，已知等边ABC ?的边长为6，点D 是边BC 上的一个动点，折叠ABC ?， 使得点A 恰好与边BC 上的点D 合，折痕为EF （点E
12、 、F 分别在边AB 、AC 上） （1）当:5:4AE AF =时，求BD 的长： （2）当ED BC 时，求EB 的值；（3）当以B 、E 、D 为顶点的三角形与DEF ?相似时，求BE 的长 【答案：（1）ABC ?是等边三角形， ，.由题意可知AEF DEF ?，. .， .又，. ，BDE CFD ?. 方法BDE CFD ?，. 设，则由知， ，.设，则.即整理，得?=60C B A CA BC AB =?=60A EDF AE DE =AF DF =BDF EDF BDE =+C CFD BDF +=+EDF BDE C CFD +C EDF =?=60CFD BDE =C B =k AE 5=4:5:=AF AE k AF 4=k AE DE 5=k AF DF 4=k BE 56-=k CF 46-=x BD =x CD -=6 ABCDEF
