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1、实数复习与回顾一、知识梳理1.平方根（1）算术平方根的定义：一个正数x的平方等于a,即_，那么这个正数x就叫做a的_.0的算术平方根是_。（2）平方根的定义：如果一个数x的平方等于，即_，那么这个数x就叫做的_。（3）平方根的性质：一个正数有_个平方根，它们_； 0只有_个平方根，它是_；负数_平方根。（4）开平方：求一个数a的_的运算，叫做开平方。2.立方根（1）立方根的定义：如果一个数x的_等于，即_，那么这个数x就叫做的立方根。（2）立方根的性质：每个数a都只有_个立方根。正数的立方根是_；0的立方根是_；负数的立方根是_。（3）开立方：求一个数a的_的运算叫做开立方。3.实数（1）无理
2、数的定义：无限不循环小数叫做_。（2）实数的定义： _和_统称实数。（3）实数的分类：按定义分：_；按性质分：_。（4）实数与数轴上的点的对应关系：_与数轴上的点是_对应的。（5）有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义_。4.实数的运算：（1）实数的加、减、乘、除、乘方运算和_一样，而且有理数的运算律对_仍然适用。（2）两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根，算术平方根的商等于这两个数商的算术平方根，用式子表示为_；_。二、考点例析 考点1 平方根、立方根的定义与性质例1 （1）下列各数是否有平方根？若有，求出其平方根；若没有，说明理由。625 （
3、2）2 （1）3（2）下列各数是否有立方根？若有，求出其立方根。 343 22分析：（1）要判断一个对象有无平方根，首先要对这个对象进行转化，直到能看出它的符号，然后依据平方根的性质进行判断。（2）因为正数、0、负数均有立方根，所以所给各数都有立方根。解：（1）因为6250，故其平方根有两个，即=25；因为（2）2=40，故其平方根有两个，即=2；因为（1）3=10，b0，且a0，a+b0，所以原式=（ab）+（a+b）=ab+a+b=2a说明：数形结合是解决数学问题常用的思想方法，解题时必须通过所给图形抓住相关数的信息。考点6 探究题例7 阅读下列解题过程：请回答下列问题：（1）、观察上面的
4、解题过程，请直接写出式子： （2）、利用上面所提供的解法，请化简：分析：通过阅读解题过程不难发现，每个式子的结果都等于分母中两个式子的差。解：（1）。=。说明：这类题目需要我们细心观察及思考，探究其中的规律，寻找解决问题的途径。三、易错点例析 1、对平方根、算术平方根、立方根的概念与性质理解不透理解不透平方根、算术平方根、立方根的概念与性质，往往出现以下错误：求一个正数的平方根时，漏掉其中一个，而求立方根时，又多写一个；求算术平方根时前面加上“”成了平方根等等。例1 （1）求6的平方根 （2）求的算术平方根错解：（1）；（2）的算术平方根是9错解分析：错解（1）中混淆了平方根和算术平方根；错解
5、（2）中=9，的算术平方根其实是9的算术平方根，而9的算术平方根是3。正确解法：（1）；（2）的算术平方根是3。例2 求64与27的立方根。错解：64的立方根是4，27没有立方根。错解分析：64的立方根是4，只有一个，认为64的立方根有两个且互为相反数，是与正数的平方根相混淆；27的立方根是3，错误地认为27没有立方根是与负数没有平方根相混淆。正确解法：因为43=64，所以64的立方根是4。因为（3）3=27，所以27的立方根是3。2、忽略平方根成立的条件只有非负数才能开平方，这一条件解题时往往被我们忽略。例3 当m取何值时，有意义？错解：不论m取何值时，都无意义。错解分析：考虑不全，漏掉了m
6、=0时的情况。正确解法：当m=0时，m2=0，此时有意义。3、实数分类时只看表面形式对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断。例4 下列各数2、3.14159、（）2、中无理数有错解：无理数有、（）2、。错解分析：这种错误认为带根号的数都是无理数。其实能化简的应先化简，=3，（）2=7，=2，所以它们是有理数。正确解法：无理数有、。4、运算错误在进行实数的运算时要注意运算法则与公式的正确应用，千万不要忽略公式的应用条件。例5 化简（1）5 （2）错解：（1）5=5=2； （2）=（3）（5）=15错解分析：（1）中合并同类二次根式时丢掉了从而出错；（2）中忽略了公式的应用条件，即a0，b0，因为负数没有平方根，虽然最后结果正确，但解法是错误的。 （2）=35=15。正确解法：（1）5=5=2；
