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1、2021年全国高考理科数学试题和答案2012年普通高等学校招生全国统一考试（黑龙江）理科数学 第一卷一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合1,2,3,4,5A =,(,),B x y x A y A x y A =-；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y =，4,1,2,3x y =，3,1,2x y =，2,1x y =共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不
2、同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- ()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i -=-+-+-1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1- （4）设12F F
3、 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，?21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45 【解析】选C ?21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ?=-=?=（5）已知n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ） ()A 7 ()B 5 ()C -5()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a =-?=-或472,4a a =
4、-= 471101104,28,17a a a a a a =-?=-=?+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=?=-=?+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N 和实数12,.,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,.,n a a a 的和()B 2A B+为12,.,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,.,n a a a 中最大的数和最小的数()D A 和B 分别是12,.,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图
5、，则此几何体的体积为（ ） ()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =?=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=交x y 162=的准线:4l x =-于(4,A -(4,B -得：222(4)4224a a a =-=?=?= （9）已知0，函数()sin()4f x x =+在(,)2上单调递减。则的取值范围
6、是（ ）()A 15,24 ()B 13,24 ()C 1(0,2()D (0,2 【解析】选A592(),444x =?+ 不合题意 排除()D351(),444x =?+ 合题意 排除()()B C另：()22-?，3(),424422x +?得：315,2424224+? （10） 已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（ ） 【解析】选B()l n (1)()1()010,()00()(0) xg x x x g x xg x x g x x g x g =+-?=-+?-（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ?是
7、边长为1的正三角形， SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）()A ()B()C()D 【解析】选AABC ?的外接圆的半径3r =，点O 到面ABC的距离3d = SC 为球O 的直径?点S 到面ABC的距离为2d = 此棱锥的体积为11233ABC V S d ?=?=另：123ABC V S R ?=排除,B C D （12）设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ ）()A 1ln2- ()B ln 2)- ()C 1ln2+ ()D ln 2)+【解析】选A 函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，
8、图象关于y x =对称 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为d = 设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d =-?=-?=-?= 由图象关于y x =对称得：PQ最小值为min 2ln 2)d =-第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答。二填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）已知向量,a b 夹角为45?，且1,210a a b =-=；则_b =【解析】_b =22210(2)1044cos 4
9、51032a b a b b b b ?-=?-=?+-=?=(14) 设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ?-?+?；则2z x y =-的取值范围为【解析】2z x y =-的取值范围为 3,3-约束条件对应四边形OABC 边际及内的区域：(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)O A B C则23,3z x y =- （15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1000,50)N ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时
10、的概率为 【解析】使用寿命超过1000小时的概率为38三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N 得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12p =超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2131(1)4P p =-= 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2138p p p =?=（16）数列n a 满足1(1)21nn n a a n +-=-，则n a 的前60项和为【解析】n a 的前60项和为 1830可证明：14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +-=+=+=+
11、112341515141010151618302b a a a a S ?=+=?=?+?= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知,a b c 分别为ABC ?三个内角,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c -= （1）求A （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c 。 【解析】（1）由正弦定理得：cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C -=?=+ sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C a C C
12、A A A A A ?+=+?-=?-=?-=?= （2）1sin 42S bc A bc =?= 2222cos 4a b c bc A b c =+-?+=解得：2b c =（l fx lby ）18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售， 如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。 （1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n N ）的函数解析式。（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。（i ）若花店
13、一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，数学期望及方差；（ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。 【解析】（1）当16n 时，16(105)80y =?-= 当15n 时，55(16)1080y n n n =-=-得：1080(15)()80(16)n n y n N n -?=?（2）（i ）X 可取60，70，80(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X =222160.160.240.744DX =?+?+?= （ii ）购进17枝时，当天的利润为(14535)0.1(1552
14、5)0.2(16515)0.161750.5476.4y =?-?+?-?+?-?+?=76.476 得：应购进17枝 （19）（本小题满分12分） 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA =，D 是棱1AA 的中点，BD DC 1（1）证明：BC DC 1（2）求二面角11C BD A -的大小。 【解析】（1）在Rt DAC ?中，AD AC = 得：45ADC ?=同理：1114590A DC CDC ?=?=得：111,DC DC DC BD DC ?面1BCD DC BC ? （2）11,DC BC CC BC BC ?面11ACC A BC AC ?取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD 于点H ，连接11,C O C H111111A CBC C O A B =?，面111A B C
