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1、- 31 -第8章 梁的弯曲应力梁在荷载作用下，横截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。弯矩是垂直于横截面的分布内力的合力偶矩；而剪力是切于横截面的分布内力的合力。所以，弯矩只与横截面上的正应力相关，而剪力只与剪应力相关。本章研究正应力和剪应力的分布规律，从而对平面弯曲梁的强度进行计算。并简要介绍一点的应力状态和强度理论。8.1 梁的弯曲正应力平面弯曲情况下，一般梁横截面上既有弯矩又有剪力，如图8.1所示梁的AC、DB段。而在CD段内，梁横截面上剪力等于零，而只有弯矩，这种情况称为纯弯曲。下面推导梁纯弯曲时横截面上的正应力公式。应综合考虑变形几何关系、物理关系和静力学
2、关系等三个方面。8.1.1 弯曲正应力一般公式1、变形几何关系为研究梁弯曲时的变形规律，可通过试验，观察弯曲变形的现象。取一具有对称截面的矩形截面梁，在其中段的侧面上，画两条垂直于梁轴线的横线mm和nn，再在两横线间靠近上、下边缘处画两条纵线ab和cd，如图8.2(a)所示。然后按图8.1(a)所示施加荷载，使梁的中段处于纯弯曲状态。从试验中可以观察到图8 .2(b)情况：（1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正交，只是横线间作相对转动。（2）纵线变为曲线，而且靠近梁顶面的纵线缩短，靠近梁底面的纵线伸长。（3）在纵线伸长区，梁的宽度减小，而在纵线缩短区，梁的宽度则增加，情况与轴向拉、压时的变形相
3、似。根据上述现象，对梁内变形与受力作如下假设：变形后，横截面仍保持平面，且仍与纵线正交；同时，梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或压应力。前者称为弯曲平面假设；后者称为单向受力假设。根据平面假设，横截面上各点处均无剪切变形，因此，纯弯时梁的横截面上不存在剪应力。根据平面假设，梁弯曲时部分纤维伸长，部分纤维缩短，由伸长区到缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层，如图8.2(c)所示。中性层与横截面的交线称为中性轴。对于具有对称截面的梁，在平面弯曲的情况下，由于荷载及梁的变形都对称于纵向对称面，因而中性轴必与截面的对称轴垂直。综上所述，纯弯曲时梁的所有横截面保持平面，仍与变弯后的梁轴正交，并
4、绕中性轴作相对转动，而所有纵向纤维则均处于单向受力状态。从梁中截取一微段dx，取梁横截面的对称轴为y轴，且向下为正，如图8.3 (b)所示，以中性轴为y轴，但中性轴的确切位置尚待确定。根据平面假设，变形前相距为dx的两个横截面，变形后各自绕中性轴相对旋转了一个角度d，并仍保持为平面。中性层的曲率半径为，因中性层在梁弯曲后的长度不变，所以又坐标为y的纵向纤维ab变形前的长度为变形后为故其纵向线应变为 （a）可见，纵向纤维的线应变与纤维的坐标y成正比。2、物理关系因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都处于单向受力状态，当应力小于比例极限时，由胡克定律知将(a)式代入上式，得 (b)这就是横截面上正应
5、力变化规律的表达式。由此可知，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比，而在距中性轴为y的同一横线上各点处的正应力均相等，这一变化规律可由图8.4来表示。3、静力学关系以上已得到正应力的分布规律，但由于中性轴的位置与中性层曲率半径的大小均尚未确定，所以仍不能确定正应力的大小。这些问题需再从静力学关系来解决。如图8.5所示，横截面上各点处的法向微内力dA组成一空间平行力系，而且由于横截面上没有轴力，仅存在位于x-y平面的弯矩M，因此， (c) (d) (e) 以式(b)代入式(c)，得 (f)上式中的积分代表截面对z轴的静矩Sz。静距等于零意味着z轴必须通过截面的形心。以式(b)代入式
6、(d)，得 (g)式中，积分是横截面对y和z轴的惯性积。由于y轴是截面的对称轴，必然有Iyz=0,所示上式是自然满足的。以式(b)代入式(e)，得 （h）式中积分 （i）是横截面对z轴（中性轴）的惯性矩。于是，(h)式可以写成 （8.1）此式表明，在指定的横截面处，中性层的曲率与该截面上的弯矩M成正比，与EIz成反比。在同样的弯矩作用下，EIZ愈大，则曲率愈小，即梁愈不易变形，故EIz称为梁的抗弯刚度。再将式(8.1)代入式(b),于是得横截面上y处的正应力为 （8.2）此式即为纯弯曲正应力的计算公式。式中M 为横截面上的弯矩；Iz 为截面对中性轴的惯性矩；y 为所求应力点至中性轴的距离。当弯
7、矩为正时，梁下部纤维伸长，故产生拉应力，上部纤维缩短而产生压应力；弯矩为负时，则与上相反。在利用（8.2）式计算正应力时，可以不考虑式中弯矩M和y 的正负号，均以绝对值代入，正应力是拉应力还是压应力可以由梁的变形来判断。应该指出，以上公式虽然是纯弯曲的情况下，以矩形梁为例建立的，但对于具有纵向对称面的其他截面形式的梁，如工字形、T 字形和圆形截面梁等仍然可以使用。同时，在实际工程中大多数受横向力作用的梁，横截面上都存在剪力和弯矩，但对一般细长梁来说，剪力的存在对正应力分布规律的影响很小。因此，（8.2）式也适用于非纯弯曲情况。8.1.2 最大弯曲正应力由式(8.2)可知，在y=ymax即横截在
8、由离中性轴最远的各点处，弯曲正应力最大，其值为式中，比值Iz/ymax仅与截面的形状与尺寸有关，称为抗弯截面系数，也叫抗弯截面模量。用Wz表示。即为 （8.3）于是，最大弯曲正应力即为 （8.4）可见，最大弯曲正应力与弯矩成正比，与抗弯截面系数成反比。抗弯截面系数综合反映了横截面的形状与尺寸对弯曲正应力的影响。图8.6中矩形截面与圆形截面的抗弯截面系数分别为 (8.5) (8.6)而空心圆截面的抗弯截面系数则为 (8.7)式中=d/D，代表内、外径的比值。至于各种型钢截面的抗弯截面系数，可从型钢规格表中查得（见附录）。例8.1 图8.7所示悬臂梁，自由端承受集中荷载F作用，已知：h=18cm，
9、b=12cm，y=6cm，a=2m，F=1.5KN。计算A截面上K 点的弯曲正应力。解 先计算截面上的弯矩截面对中性轴的惯性矩则A 截面上的弯矩为负，K 点是在中性轴的上边，所以为拉应力。8.2 平面图形的几何性质构件在外力作用下产生的应力和变形，都与构件的截面的形状和尺寸有关。反映截面形状和尺寸的某些性质的一些量，如拉伸时遇到的截面面积、扭转时遇到的极惯性矩和这一章前面遇到的惯性矩、抗弯截面系数等，统称为截面的几何性质。为了计算弯曲应力和变形，需要知道截面的一些几何性质。现在来讨论截面的一些主要的几何性质。8.2.1形心和静矩若截面形心得坐标为yC和zC（C 为截面形心），将面积得每一部分看
10、成平行力系，即看成等厚、均质薄板的重力，根据合力矩定理可得形心坐标公式 （a）静矩又称面积矩。其定义如下，在图8.8中任意截面内取一点M（z,y）,围绕M点取一微面积dA，微面积对z轴的静矩为ydA，对y轴的静矩为zdA，则整个截面对z和y轴的静矩分别为： (b)有形心坐标公式知： (c)上式中yC和zC是截面形心C的坐标，A是截面面积。当截面形心的位置已知时可以用上式来计算截面的静矩。从上面可知，同一截面对不同轴的静矩不同，静矩可以是正负或是零；静矩的单位是长度的立方，用m3 或cm3 、mm3等表示；当坐标轴过形心时，截面对该轴的静矩为零。当截面由几个规则图形组合而成时，截面对某轴的静矩，
11、应等于各个图形对该轴静矩的代数和。其表达式为 (d) (e)而截面形心坐标公式也可以写成 (f) (g)8.2.2惯性矩、惯性积和平行移轴定理在图8.8中任意截面上选取一微面积dA，则微面积dA对z轴和y轴的惯性矩为z2dA和Y2dA。则整个面积对z轴和y轴的惯性矩分别记为Iz和Iy，而惯性积记为Izy，则定义： (h) (i)极惯性矩定义为： (j)从上面可以看出，惯性矩总是大于零，因为坐标的平方总是正数，惯性积可以是正、负和零；惯性矩、惯性积和极惯性矩的单位都是长度的四次方，用m4 或cm4 、mm4等表示。同一截面对不同的平行的轴，它们的惯性矩和惯性积是不同的。同一截面对二根平行轴的惯性
12、矩和惯性积虽然不同，但它们之间存在一定的关系。下面讨论二根平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。图8.9所示任意截面对任意轴对z轴和y轴的惯性矩、惯性积分别为Iz、Iy 和Izy 。过形心C有平行于z、y的两个坐标轴z和y，截面对z、y轴的惯性矩和惯性积为Iz、Iy 和Izy。对ozy坐标系形心坐标为C（a,b）。截面上选取微面积dA，dA的形心坐标为则按照惯性矩的定义有上式中第一项为截面对过形心坐标轴y轴的惯性矩；第三项为面积的a2倍；而第二项为截面过形心坐标轴y轴静矩乘以2a 。根据静矩的性质，对过形心轴的静矩为零，所以第二项为零。这样上式可以写为 (k)同理可得： (l) (m)也就是说，截
13、面对于平行于形心轴的惯性矩，等于该截面对形心轴的惯性矩再加上其面积乘以两轴间距离的平方；而截面对于平行于过形心轴的任意两垂直轴的惯性积，等于该面积对过形心二轴的惯性积再加上面积乘以相互平行的二轴距之积。这就是惯性矩和惯性积的平行移轴定理。例8.2 计算图8.10 所示T 形截面的形心和过它的形心z轴的惯性矩。解 （1）确定截面形心位置选参考坐标系ozy，如图8.10所示。将截面分解为上面和下面两个矩形部分，截面形心C的纵坐标为（2）计算截面惯性矩上面矩形与下面矩形对形心轴z的惯性矩分别为8.3 梁的弯曲剪应力当进行平面弯曲梁的强度计算时，一般来说，弯曲正应力是支配梁强度计算的主要因素，但在某些情况上，例如，当梁的跨度很小或在支座附近有很大的集中力作用，这时梁的最大弯矩比较小，而剪力却很大，如果梁截面窄且高或是薄壁截面，这时剪应力可达到相当大的数值，剪应力就不能忽略了。下面介绍几种常见截面上弯曲剪应力的分布规律和计算公式。8.3.1矩形截面梁的弯曲剪应力图8.11(a)所示矩形截面梁，在纵向对称面内承受荷载作用。设横截面的高度为h，宽度为b，为研究弯曲剪应力的分布规律，现作如下假设：横截面上各点处的剪应力的方向都平行于剪力，并沿截面宽度均匀分布。有相
