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1、初二数学初二数学寒假专题寒假专题勾股定理勾股定理华东师大版华东师大版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 寒假专题勾股定理 1. 勾股定理及其逆定理的概念； 2. 勾股定理及其逆定理的实际应用； 3. 解有关勾股定理的题型时常用的辅助线和数学思想方法. 二. 重点、难点： 1. 重点： 勾股定理及其逆定理的概念; 勾股定理及其逆定理的实际应用.来源:学科网 ZXXK 2. 难点： 勾股定理与勾股定理逆定理的联系与区别; 解有关勾股定理题时常用的辅助线和数学思想方法. 三. 知识梳理： 1. 勾股定理及其逆定理的概念 勾股定理的内容：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和.
2、 例如：如图所示，在等腰ABC 中，若 ABAC13，BC10，求底边上的高. A B H C 如图所示，在ABC 中，ACB90，AC4，CB3，求斜边 AB 上的高. C A H B 解：解：作 AHBC ABAC13，AHBC 12513AH 5HCBH 22 AC4，BC3 543AB 22 5HC34 5 12 HC 勾股定理逆定理的内容：如果三角形一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么 这个三角形是直角三角形，这条边所对的角是直角. 例如：如图所示，在ABC 中，三条边之比为 9：12：15，那么此三角形为何三角 形？ 如图所示，在ABC 中，若 22 a4c ， 22 a3b
3、，那么此三角形为何三角形？ 解：解：15:12:9c:b:a 设，k12bk9a k15c 2222 )k12()k9(ba 222 k225ck225， 222 cba 此三角形是 Rt. 证： 2222 a3ba4c， 222 cba 此三角形是 Rt. 注：勾股定理与勾股定理逆定理的联系与区别： 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是直角三角形的判定定理; 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关. 2. 勾股定理的证明方法介绍 勾股定理曾引起很多人的兴趣，几千年来，人们已经发现了 400 多种勾股定理的证明 方法，其中包括大画家达芬奇和美国总统詹姆士
4、阿加菲尔 德.以下我们撷取几个优美 而巧妙的证法供同学们欣赏. （1）赵爽的拼图法）赵爽的拼图法 我国古代著名数学家赵爽在勾股圆方图一书中运用四个相同的直角三角形组成一 个正方形，从面积的角度证明了勾股定理，其方法简捷、优美. 如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等的直角三角形，已知它们的直 角边为a、b利用这个图，即可证明勾股定理.理由如下： 因为正方形边长为c，所以正方形的面积为 2 c. 又因为正方形的面积 222 1 4() 2 ababab， 所以有 222 abc. （2）旋转面积法）旋转面积法 如图，设矩形 ABCD 为火柴盒侧面，将这个火柴盒推倒至 ABCD 的位置，
5、D 点 不动.若设 ABa，BCb，DBc，则梯形A B BC的面积 2 11 ()()() 22 ab abab，又因为其面积还等于三个三角形面积的和，即为： 2 111 222 A B DDB BBCD SSSabcab . 所以有： 2 1 () 2 ab 2 111 222 abcab. 化简为： 222 22ababcab，即 222 abc. 来源:Z化陌生为熟悉;换一种 方式来表达等等. 解：解：求几何体的表面的最短距离，可联系我们学过的圆柱体的侧面展开图，化“曲面” 为“平面” ，再寻找解题的途径.如右图，可得展开图中的 AB 长为 2，BS 为 2，根据勾 股定理，在 RtA
6、BS 中，得 AS2 2 1所以，动点 P 从 A 点出发，沿着圆柱的侧面移 动到 BC 的中点 S 的最短路径长为 2 2 1.故选 A. 例例 9. 在锐角ABC 中，已知其两边 a1，b3，求第三边的变化范围. 分析：分析：显然第三边 bacba，但这只是能保证三条边能组成一个三角形，却不能 保证它一定是一个锐角三角形，为此，先求ABC 为直角三角形时第三边的值. 来源:Z_xx_k.Com来源:学|科|网 Z|X|X|K 解：解：设第三边为 c，并设ABC 是直角三角形 (1)当第三边是斜边时，c2b2a2，c 10 (2)当第三边不是斜边时，则斜边一定是 b，b2a2c2，c2 2（
7、即8） ABC 为锐角三角形 所以点 A 应当绕着点 B 旋转，使ABC 成为锐角（如图） ，但当移动到点 A位置时 ACB 成为直角.故点 A 应当在 A 和 A间移动，此时 2 2AC10 注：此题易忽视或中一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否直角边，所以 有两种情况要考虑. 例例 10. 四边形 ABCD 中，B90，AB3，BC4，CD12，AD13，求四边形 ABCD 的面积. 分析：分析：先根据勾股定理求出 AC 的长，再由勾股定理的逆定理得到 ADC 是直角三角 形，将四边形 ABCD 分成两个直角三角形.本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题. 解：解：连结 AC B9
8、0，AB3，BC4 AC2AB2BC225（勾股定理） AC5 AC2CD2169，AD2169 AC2CD2AD2 ACD90（勾股定理逆定理）来源:Zxxk.Com S四边形 ABCDSABCSACD2 1 ABBC2 1 ACCD36 例例 11. 若x、y为正实数，且4xy，则 22 14xy 的最小值是多少?试求之. 解析：解析：此题是竞赛题，不知从何下手，若仔细观察分析，从 x21 和 y24 入手，结 合勾股定理的形式可为我们提供解题的思路.可以看出， 2 1x 、 2 4y 分别是以 x、1，y、2 为直角边的直角三角形的斜边长，这时，上述问题就变成了求两条线段之和的 最值问题
9、.构造如图所示的图形：线段 AB4，P 为 AB 上任意一点.设 PAx，PBy.CAAB 于 A，DBAB 于 B，且 CA1，BD2，则 PCPD 22 14xy .要求 22 14xy 的最小值就是求 PCPD 最小，很明显，当点 P、C、D 在同一直线上时，PCPD 的最小值.再过 C 作 CEDB 交 DB 的延长线于点 E， 构造 RtDCE，在 RtDCE 中，CEAB4，ED123，所以 PCPDDC 22 345.所以 22 14xy 的最小值是 5. 来源:学.科.网 Z.X.X.K 例例 12. (2006 年山西中考题)如图，分别以直角 ABC 的三边 AB，BC，CA
10、 为直径向外 作半圆.设直线 AB 左边阴影部分的面积为 S1，右边阴影部分的面积和为 S2，则（ ） A. S1S2B. S1S2C. S1S2D. 无法确定 分析：分析：将阴影部分的面积表示出来，再观察所列代数式与直角三角形三边长的关系可 得答案. 解：解：直线 AB 左边阴影部分的面积为： 2 () 2 2 AB 2 1 8 AB，来源:学科网 直线 AB 右边阴影部分的面积为： 22 ()() 22 22 ACBC 22 1 () 8 ACBC. ABC 是直角三角形，根据勾股定理有： 222 ABACBC. 故选 A. 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：40 分钟） 一、填空题：一、
11、填空题：来源来源:学科网学科网 1. 设直角三角形的三条边长为连续自然数，则这个直角三角形的面积是_. 2. 如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C偏离欲到达点 B200m，结果他在水中实际游了 520m，则该河流的宽度为_m. 来源来源:学学,科科,网网 Z,X,X,K 二、选择题：二、选择题： 3. 直角三角形的两直角边分别为 5cm，12cm，其中斜边上的高为（ ）.来源:Zxxk.Com A. 6cm B. 8.5cm C. 30 13 cm D. 60 13 cm 4. 有四个三角形： ABC 的三边之比为 3：4：5； ABC的三边之比为 5：12：13； ABC
12、的三个内角之比为 1：2：3； CDE 的三个内角之比为 1：1：2. 其中是直角三角形的有（ ）. A. B. C. D. 三、解答题：三、解答题： 5. 在ABC 中，AC21cm，BC28cm，AB35cm，求ABC 的面积. 6. 如图，ABC 的三边分别为 AC5，BC12，AB13，将ABC 沿 AD 折叠，使 AC落在 AB 上，求 DC 的长. 7. 如图，一只鸭子要从边长分别为 16m 和 6m 的长方形水池一角 M游到水池另一边中 点 N，那么这只鸭子游的最短路程应为多少米？ 8. 如图，铁路上 A、B 两点相距 25km，C、D 为两村庄，DA垂直 AB 于 A，CB 垂直 AB 于 B，已知 AD15km，BC10km，现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E， 使得 C、D 两村到 E 站的距离相等，则 E 站建在距 A 站多少千米处？ 【试题答案试题答案】 一、填空题 1. 6 2. 480 二、选择题 3. D 4. D 三、解答题 5. 294cm2 6. 因为 AC2BC252122169132AB2， C90，将ABC 沿 AD 折叠，使 AC 落在 AB 上，C 的对称点为 E， 则 CDDE，ACAE，BEABAE8， 设 CDx，则 x282（12x）2，x10 3 ， CD10 3 . 7. 10m 8. 10km 处
