《2020-2021学年北师大版数学必修4课件-阶段提升课-第二课-三角函数的图像与性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020-2021学年北师大版数学必修4课件-阶段提升课-第二课-三角函数的图像与性质（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、阶段提升课 第二课三角函数的图像与性质,思维导图构建网络,考点整合素养提升,题组训练一三角函数的图像与性质 1.已知函数f(x)=Asin(x+)(xR,A0,0 )的最大值为2,最小正 周期为,直线x= 是其图像的一条对称轴. (1)求函数f(x)的解析式. (2)求函数g(x)=Acos(x-5)的单调递增区间,解析】(1)因为最小正周期为. 所以 =.即=2. 又因为直线x= 是函数图像的一条对称轴, 所以2 +=k+ ,kZ,即=k+ ,kZ. 又因为 ,所以= . 又因为A=2, 所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin,2)由(1)知g(x)=2cos 由2k- 2x- 2k+
2、 ,kZ可得 k- xk+ ,kZ. 即函数g(x)的单调递增区间是 kZ,2.已知函数f(x)= (1)求函数的定义域. (2)用定义判断f(x)的奇偶性. (3)在-,上作出f(x)的图像. (4)写出f(x)的最小正周期及单调性,解析】(1)因为由cos x0得xk+ (kZ), 所以函数的定义域是 (2)由(1)知函数的定义域关于原点对称. 又因为f(-x)= =-f(x), 所以f(x)是奇函数,3)f(x)= f(x)(x-,)的图像如图所示,4)f(x)的最小正周期为2, 递增区间是 (kZ), 递减区间是 (kZ,方法技巧】 1.函数y=Asin(x+)(A0,0)的性质 (1
3、)奇偶性:=k(kZ)时,函数y=Asin(x+)为奇函数; =k+ (kZ)时,函数y=Asin(x+)为偶函数. (2)周期性:y=Asin(x+)存在周期性,其最小正周期为T=,3)单调性:根据y=sin t和t=x+(0)的单调性来研究,由- +2kx+ +2k(kZ)得单调增区间;由 +2kx+ +2k(kZ)得单 调减区间. (4)对称性:利用y=sin x的对称中心为(k,0)(kZ)来解,令x+=k(k Z),求得其对称中心. 利用y=sin x的对称轴为x=k+ (kZ)来解,令x+=k+ (kZ)得其对 称轴,2.求正切函数定义域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域
4、时,除了求函数定义域的一般要求外,还要 保证正切函数y=tan x有意义即x +k,kZ. (2)求正切型函数y=Atan(x+)(A0,0)的定义域时,要将“x+”视为 一个“整体”.令x+k+ ,kZ,解得x,3.函数f(x)=Atan(x+)周期的求解方法 (1)定义法. (2)公式法:对于函数f(x)=Atan(x+)的最小正周期T= . (3)观察法(或图像法):观察函数的图像,看自变量间隔多少,函数值重复出现,题组训练二三角函数的图像变换 1.设函数f(x)=2sin (0)的周期为. (1)求它的振幅、初相. (2)用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图像. (3)说明
5、函数f(x)的图像是由y=sin x的图像经过怎样的变换而得到的,解析】(1)因为f(x)=2sin ,又因为T=, 所以 =,即=2.所以f(x)=2sin . 所以函数f(x)=2sin 的振幅为2,初相为,2)令X=2x+ ,则y=2sin =2sin X. 列表,并描点画出图像,3)方法一:把y=sin x的图像上所有的点向左平移 个单位长度,得到y= sin 的图像,再把y=sin 的图像上的点的横坐标缩短到原来的 倍(纵 坐标不变),得到y=sin 的图像,最后把y=sin 上所有点的纵坐标伸长 到原来的2倍(横坐标不变), 即可得到y=2sin 的图像,方法二:将y=sin x的
6、图像上每一点的横坐标x缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得 到y=sin 2x的图像;再将y=sin 2x的图像向左平移 个单位长度,得到y= sin 2 的图像;再将y=sin 的图像上每一点的横坐标保持不 变,纵坐标伸长为原来的2倍,得到y=2sin 的图像,2.若函数f(x)=Asin(2x+)(A0,0)在x= 处取得最大值,且最大值为3, 求函数f(x)的解析式,并说明怎样变换f(x)的图像能得到g(x)=3sin 的图像,解析】因为函数f(x)最大值为3,所以A=3, 又当x= 时函数f(x)取得最大值,所以sin =1. 因为0,故= ,故函数f(x)的解析式为f(x)=3sin ,
7、将f(x)的图像 向右平移 个单位,即得g(x)=3sin 的图像,方法技巧】 三角函数的图像的画法及变换 (1)五点法作简图:用“五点法”作y=Asin(x+)的简图,主要是通过变量代 换,设z=x+,由z取0, ,2来求出相应的x,通过列表,计算得出五点 坐标,描点后得出图像. (2)图像变换:由函数y=sin x的图像通过变换得到y=Asin(x+)的图像,有两 种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移,题组训练三三角函数模型的实际应用 1.如图,某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分 为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asin x(A0,0),x0,4
8、的部分图像,且 图像的最高点为S(3,2 );赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的 安全,限定MNP=120.求A,的值和M,P两点间的距离,解析】连接MP(图略). 由已知,A= 所以= 当x=4时,y=2 =3, 所以M(4,3),又P(8,0), 所以|MP|= =5. 即M,P两点相距5 km,2.为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈,寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有
9、以下规律,每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同; 入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人; 2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多. (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系. (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物,解析】(1)设该函数为f(x)=Asin(x+)+B(A0,0,0|),根据条 件,可知这个函数的周期是12;由可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)= 400,故该函数的振幅为200;由可知,f(x)在2,8上单调递增,且f(2)=100, 所以f(8)=500. 根据上
10、述分析可得, =12, 故= 根据分析可知,当x=2时f(x)最小,当x=8时f(x)最大, 故sin =-1,且sin =1. 又因为0|,故=- . 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为 f(x)=200sin,2)由条件可知,200sin +300400,化简, 得sin ,kZ, 解得12k+6x12k+10,kZ. 因为xN+,且1x12,故x=6,7,8,9,10. 即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物,方法技巧】 三角函数模型在实际中的应用 (1)已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系.
11、(2)把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模,题组训练四三角函数的综合应用 1.函数f(x)=cos x+2|cos x|在0,2上与直线y=m有且仅有2个交点,则m的取值范围是_,解析】f(x)= 如图 由图可知:当m=0或1m3时,直线y=m与f(x)的图像有且仅有2个交点,2.已知函数f(x)= (1)求它的定义域和值域、单调区间; (2)判断它的奇偶性、周期性,如果是周期函数,求出它的最小正周期,解析】令u(x)= f(x)= (1)要使f(x)有意义,则sin 0, 所以2kx- (2k+1)(kZ), 即x (kZ). 因为0
12、sin 1,所以0 ,所以f(x)= ,所以f(x) 的值域为,x- 时,u(x)是增函数,所以f(x)= 是减函数,所以x 时,函数是减函数.同理可求得x (kZ)时,函数是 增函数. (2)因为f(x)的定义域不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数. 又f(x+2)=- 其中x (kZ),所以f(x)是周期函数,且最小正周期是2,方法技巧】 解决三角函数综合问题的注意点 (1)求解复合函数的有关性质问题时,应同时考虑到内层函数与外层函数的各自特征及它们的相互制约关系,准确地进行等价转化; (2)在求三角函数的定义域时,不仅要考虑函数式有意义,而且要注意三角函数各自的定义域的要求.一般是归结为解三角函数不等式(组),可用图像法或单位圆法; (3)求复合函数的单调区间应按照复合函数单调性的规则进行; (4)用周期函数的定义求函数的周期是求周期的根本方法,在证明有关函数的周期性问题时,也常用周期函数的定义来处理
