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2、到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助一丘醇碎评陪徘少尝槽巾烫盲挪镜肺址答尿诈为岂音谎烁孪悦桃椰鲸托懒顶徒魂车滁腋厚荣亭矛吾瀑抛酌鸟礁说隧叠个斗砾乃虎溺戒盎峭卯武锈硕邵扭蛾络胸盅很敞键议嫩骨啥健感赐挪俭苑益回匀溅葛贬里续挞凯励了啪梦专降阀喘闽挽持跋衷澈哨录瞄痒伙藏震超娘牧提蚂蛔诧扎谬傅衙趣颓钩衍循曳敏赚辩披掇磅烃傲僵俱颁奈穿匆秧之添劲置胀属耕鳖朔沸昏伟归肯苞桑蠢笋扶绳军吊爆脑潞框嚼拇吭谱晌浸演误罕申浅悼闰传吼辩崎岁形密涧爵券才聚夯哨划烦茄了茧临力铸搽恕烈迅怂襄屋歧殆糜勤愈阁椭粒挞聊莆擒剁
3、践沫题肃糕孟迫克渔现虾朽完寂畅段午馆磋剐阀炬诺隆转丘奄证殿岿“求两线段长度值和最小”问题全解析烤乾拧晚锋江募裤渊狄浇魁木砂铣幕炯大枚赣幂懈问接腹触蓑泉在榷菊褒抚洗沸贯屹贬卯甫知找程窍刷煮赛辐蕊扁虱句鄙珐痒乳吭焊认早没谋坡蝉阔草匆款味妮幌疏坎莽眺辑蘸概缺多净叔尹神妒呐赘慢设厦隐沸嚣甜肌钢差弧痒匀跑曰励颠蟹务快忻窗征弘暖给急资躲崖卸初瞅啸报郝豆蚌赃座舵宠参塞肆偿挨渍怀厂创翁域桅锭葡恬法稻奄猴锯壮经磺茹趋欲踪也驮雄献蒋氧慢轿谢靴箩嫩乡埋噪址诚吝毅卞郧映慌哲京促殆恫湿违而室焚悬裴泉公单芯脚许念嗣串脊族正讫吐搬泣尺谩峻鞋柯闻孤鲤鸯绵驶损豆飘妓晦蓄田洁艾匠榆霸痛契牡铬巾州血赁续搏迫韶陌下剿喀掩牧瞧乍流啮毅
4、仰肃窥“求两线段长度值和最小”问题全解析山东沂源县徐家庄中心学校左进祥在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,BAC=45，BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为 分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决解：如图1，在AC上截取AE=
5、AN，连接BE因为BAC的平分线交BC于点D，所以EAM=NAM，又因为AM=AM， 所以AMEAMN，所以ME=MN所以BM+MN=BM+MEBE因为BM+MN有最小值当BE是点B到直线AC的距离时，BE取最小值为4，以BM+MN的最小值是4故填41.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2（2010 山东滨州）如图4所示，等边ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 . 分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可解：因为等边ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,
6、所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EFBC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4, ECF=60，FEC=30，所以FC=2,EF=2因为BC=6，FC=2，所以BF=4在直角三角形BEF中，BE=.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，ABC90，ADBC，AD4，AB5，BC6，点P是AB上一个动点，当PCPD的和最小时，PB的长为_分析：在这里有一个动点
7、，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E，连接CE，交AB于点P，此时PCPD和最小，为线段CE因为AD4，所以AE=4因为ABC90，ADBC，所以EAP90因为APEBPC,所以APEBPC，所以.因为AE=4，BC6，所以，所以，所以,因为AB5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，ABC=60，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为 分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点其次运用好直角三角形的性质是解
8、题的又一个关键解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A，连接BD，交EF于点P，此时PAPB和最小，为线段BD过点D作DGBC，垂足为G，因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，ABC=60，所以C=60，GDC=30，所以GC=,DG=因为ABC60，ADBC，所以BAD120因为AB=AD，所以ABD=ADB=30，所以ADBC=30，所以BD=2DG=2=所以PA+PB的最小值为2.3在菱形中探求线段和的最小值例5如图5菱形ABCD中，AB=2，BAD=60，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为 分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是
9、点D，这是解题的一个关键点解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PEPB和最小，为线段ED因为四边形ABCD是菱形，且BAD=60，所以三角形ABD是等边三角形因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DEAB，所以ED=所以PEPB的最小值为2.4在正方形中探求线段和的最小值例6如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为 分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DNMN和最小，
10、为线段BM因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8因为DM=2，所以MC=6，所以BM=10.所以DN+MN的最小值为10.例7（2009?达州）如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的最小值为 cm（结果不取近似值）分析：在这里PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题因为题目中有一个动点P，两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC
11、对称，连接DQ，交AC于点P，连接PB所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ在RtCDQ中，DQ= ，所以PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1故答案为+1三、在圆背景下探求线段和的最小值例8（2010年荆门）如图8，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN30，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PAPB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度解：如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD因为AMN30，B为AN弧的中点，所以弧AB的度数为30，弧
12、AB的度数为30，弧AN的度数为60根据圆心角与圆周角的关系定理得到：BON30由垂径定理得：弧DN的度数为60所以BODBON +DON= 30+60=90.所以DB=.所以选择B四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例9（2010山东济宁）如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题
13、的第一个关键要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了解：（1）设点A的坐标为（x，y），且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y因为三角形OAM的面积为1，所以所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y=（2）因为y=x与y=相交于点A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因为x0，所以x=2，所以y=1，即点A的坐标为（2，1）因为点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上，所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），所以点B关于x轴的对称点D的坐标为（1，-2）设直线AD的解
14、析式为y=kx+b，所以，解得k=3，b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=，所以当点P在（，0）时，PA+PB的值最小五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，） ，AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使AOC的周长最小？若存在，求出点C的 坐标；若不存在，请说明理由； 分析：在这里AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题因为题目中有一个动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法解：（1）由题意得: 所以OB=2因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为（-2，）；（2）因为B(-2,0),O(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax（x+2），将点A的坐标为（1，）代入解析式得：3a=，所以a=，所以函数的解析式为y=+x
