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1、欢迎数学界各位同仁,恒成立与有解问题,授课人 舒城县汤池中学 吴 勇 时 间 二零一零年元月六日,恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容。它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，在近几年的高考试题中，越来越受到高考命题者的青睐。本专题就恒成立与有解问题做一比较,与导数有关的恒成立和有解问题,与一次、二次函数有关的恒成立和有解问题,与不等式有关的恒成立和有解问题,与参数变量有关的恒成立和有解问题,例1.已知 、 若当 时 在0，1上恒成立，求实数 的取值范围,解： 在0，1 上恒成立 即 在0，1上恒成立,令,又,所以： 即 在0，1上单调递减,所以,即,得,与 导 数 有
2、关 的 恒 成 立 问 题,考题剖析,例2：已知：函数 若存在 ，使得 成立，求a的取值范围,与 导 数 有 关 的 有 解 问 题,考题剖析,解析.由题意：存在,使得,成立,即.不等式,在,上有解,于是问题可转化为,故,在0，3递增；在3，4递减,在0，4上的最大值为,在0，4上显然为增函数，其最小值为,所以,从而解,故a的取值范围为,由于两个不同自变量取值的任意性,由于,而,所以,假若问题变成：“对任意的 ， 使得 都成立，求a的取值范围.,则可将其转化为,函数、不等式、导数既是研究的对象，又是解决问题的工具. 本题借助导数求出函数在闭区间上的最值，再处理不等式有解问题。这里传统知识与现代
3、方法交互作用，交相辉映.对考生灵活运用知识解决问题的能力是一个极好的考查,恒成立与有解的区别 恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团,1）不等式f(x)k在 时恒成立,或f(x)的上界小于或等于k,2）不等式f(x)k在,时有解,或f(x)的下界小于k,3）不等式f(x)k在,时恒成立,或f(x)的下界大于或等于k,4）不等式f(x)k在,时有解,或f(x)的上界大于k,解决恒成立和有解问题的基本策略常常是构造辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界）、图象借助导数等工具求解；基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等等
4、,总 结,巩固练习,已知两函数 ，其中k为实数。 （1）对任意x -3，3，都有f（x)g(x)成立，求k的取值范围； （2）存在x -3，3，使f（x)g(x)成立，求k的取值范围； （3）对任意 ，都有 ，求k的取值范围,解析：（1）设,问题转化为,时,恒成立,故,k45,2）据题意：存在,使f（x)g(x)成立，即为,在,上有解,故,k-7,3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意,都有,成立,由于不等式的左右两端函数的自变量不同,的取值在-3，3上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是,k141,点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件
