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1、长春市20142015学年新高三起点调研考试数学试题卷(理科)【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题卡上）【题文】1. 已知集合，若，则A. B. C. 或 D. 或
2、【知识点】子集的概念；元素的互异性.A1【答案解析】C 解析：由题可得或，则，又当时，集合出现重复元素，因此或. 故选C. 【思路点拨】根据分情况对参数的取值进行讨论，进而求出参数的值集合【题文】2. 如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则A. B. C. D. 【知识点】复数的除法运算；复数模的概念.L4 【答案解析】A 解析：由图可知：，则. 故选A.【思路点拨】利用复数的几何意义、模的计算公式即可得出【题文】3. 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是 A. B. C. D.【知识点】函数奇偶性；函数单调性与函数极值.B4 B3 B12【答案解析】D 解析：由题可知，B、C选项不是奇
3、函数，A选项单调递增（无极值），而D选项既为奇函数又存在极值. 故选D.【思路点拨】根据奇函数、存在极值的条件，即可得出结论【题文】4. 已知向量、满足，则A. B. 3C. D. 【知识点】向量的运算；向量的几何意义.F1 F2 【答案解析】B 解析：由，且可知，. 故选B.【思路点拨】根据，代入计算即可【题文】5. 已知、取值如下表：014561.35.67.4画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则的值（精确到0.1）为A. 1.5B. 1.6C. 1.7D. 1.8 【知识点】回归直线.I4 【答案解析】C 解析：将代入回归方程为可得，则，解得，即精确到0.1后的值为. 故选
4、C.【思路点拨】将代入回归方程为可得，即可得出结论【题文】6. 右图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. B. C. D. 【知识点】三视图；几何体表面积. G2【答案解析】D 解析：如图所示，该几何体的表面积为半球面积与圆锥侧面积之和，即. 故选D. 【思路点拨】根据已知中的三视图可得：该几何体是一个半球挖去一个圆锥，其表面积由半球面和圆锥的侧面积组成，由三视图求出球和圆锥底面的半径及圆锥的高，进而求出圆锥的母线长，代入面积公式，可得答案【题文】7. 已知数列为等差数列，其前项和为，若，则该等差数列的公差A. B. C. D. 【知识点】数列基本量的求法. D2【
5、答案解析】B 解析：由题意，作差可得，即. 故选B. 【思路点拨】由题意，作差可得结果.【题文】8. 函数的部分图像可能是A B C D【知识点】函数的图像；函数的奇偶性以及单调性.B4 B3 【答案解析】B 解析：由题可知，为奇函数，且存在多个零点导致存在多个零点，故的图像应为含有多个零点的奇函数图像. 故选B.【思路点拨】由题可知，为奇函数，且存在多个零点导致存在多个零点即可得到结论.【题文】9. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A. 14B. 15C. 16 D. 17【知识点】程序框图.L1【答案解析】C 解析：由程序框图可知，从到得到，因此将输出. 故选C. 【思路点拨】通过分
6、析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果【题文】10. 若，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【知识点】指、对、幂三种基本初等函数的图像；充要条件.B6 B7 B8 A2【答案解析】B 解析：如图可知，“”“”，但“” “”，即“”是“”的必要不充分条件. 故选B. 【思路点拨】进行双向判断即可.【题文】11. 过抛物线的焦点作直线与此抛物线相交于、两点，是坐标原点，当时，直线的斜率的取值范围是A. B. C. D. 【知识点】抛物线的几何性质；直线与抛物线的位置关系. H7 H8 【答案解析】D 解析：由题可知，点的横坐标
7、时，满足，此时，故直线（即直线）的斜率的取值范围是. 故选D.【思路点拨】由题可知，点的横坐标，结合已知条件，此时的范围，即可求出直线（即直线）的斜率的取值范围【题文】12. 已知定义在上的函数满足，在上表达式为，则函数与函数的图像在区间上的交点个数为A. 5B. 6C. 7 D. 8【知识点】函数的周期性、对称性以及函数图像交点个数.B4 B9 【答案解析】B 解析：根据可知图像的对称中心为，根据可知图像的对称轴为，结合画出和的部分图像，如图所示，据此可知与的图像在上有6个交点. 故选B. 【思路点拨】先根据知函数的对称中心和对称轴，再分别画出f（x）和g（x）的部分图象，由图象观察交点的个
8、数第卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).【题文】13. 若函数，则_. 【知识点】定积分. B13 【答案解析】 解析：计算可得. 【思路点拨】定积分的简单应用.【题文】14. 在的展开式中，项的系数是_. 【知识点】二项式定理.B4 C3 D1【答案解析】 解析：在的展开式中，项是，故的系数为. 【思路点拨】利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中项的系数即可.【题文】15. 若实数满足，则的取值范围是_. 【知识点】线性规划.B4 C3 D1【答案解析】 解析：由题可知，可行域如右图，目标函数的几何意义为区域内点到原
9、点距离的平方，故的取值范围是. 【思路点拨】由目标函数的几何意义为区域内点到原点距离的平方即可得解.【题文】16. 底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则半径为的球的内接正三棱柱的体积的最大值为_. 【知识点】正棱柱体积的最值问题. G7【答案解析】 解析：设三棱柱的高为，由题意可得，正三棱柱的体积为，求导可得当时，取得最大值为.【思路点拨】设三棱柱的高为，由题意可得到正三棱柱的体积的解析式，然后求导即可求得答案三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.【题文】17.（本小题满分10分）在中，三个内角、所对的边分别为、，且. (1) 求角
10、；(2) 若的面积，求的值. 【知识点】正弦定理与余弦定理；三角形面积. C8【答案解析】(1) (2) 解析：(1) 根据正弦定理可化为，即整理得，即，. （5分）(2) 由的面积，可知，而由余弦定理得. （10分）【思路点拨】(1) 先利用正弦定理把边转化为角，再利用三角形的内角和进行转化化简即可. (2) 由面积公式得到，与联立可得结果.【题文】18.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足. (1) 求数列的通项公式；(2) 设，求数列的前项和. 【知识点】数列通项公式；数列前项和公式；错位相减法. D3 D4【答案解析】(1) (2) 解析：(1) 当时，解得当时，有，所以数列
11、是以2为首项，2为公比的等比数列，有. （6分）(2) 由（1）知，有，-，得整理得. （12分）【思路点拨】（1）由，当n2时，从而可知数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，继而可得数列an的通项公式；（2）易求，利用错位相减法即可求得数列的前项和.【题文】19.（本小题满分12分）每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率. (1) 求某两人选择同一套餐的
12、概率；(2) 若用随机变量表示某两人所获优惠金额的总和，求的分布列和数学期望. 【知识点】概率；分布列. K1 K6【答案解析】(1) (2)分布列见解析；775. 解析：(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为.（4分）(2) 由题意知某两人可获得优惠金额的可能取值为400，500，600，700，800，1000. （8分）综上可得的分布列为：4005006007008001000（10分）的数学期望. （12分）【思路点拨】（1）由题意利用互斥事件加法公式能求出某两人选择同一套餐的概率（2）由题意知某两人可获得优惠金额X的可能取值分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望【题
13、文】20.（本小题满分12分）如图所示几何体是正方体截去三棱锥后所得，点为的中点. (1) 求证：平面平面；(2) 求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【知识点】空间平面的垂直关系；二面角.G5 G11【答案解析】(1)见解析 (2) 解析：(1) 证明：因为几何体是正方体截取三棱锥后所得，.（6分）(2) 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，依题意知，有设平面的一个法向量，有代入得，设，有，平面的一个法向量，设平面与平面所成锐二面角大小为，有，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. （12分）【思路点拨】（1）由已知推导出DMA1C1，BMA1C1，从而A1C1平面MBD，由此能
14、证明平面A1C1D平面MBD（2）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A1BC1与平面ABCD所成锐二面角的余弦值【题文】21.（本小题满分12分）如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点. 的最大值是，的最小值是，满足.(1) 求该椭圆的离心率；(2) 设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点. 记的面积为，的面积为，求的取值范围.【知识点】椭圆的离心率；直线和椭圆的综合应用. H5 H8【答案解析】(1) (2) 解析：(1) 设，则根据椭圆性质得而，所以有，即，因此椭圆的离心率为.（4分）(2) 由(1)可知，椭圆的方程为. 根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为，
