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1、弹性和塑形力学,第六章 平面问题的直角坐标解答,实际问题中，任何弹性体都是空间物体，它所受的外力一般是空间力系。一般情况下，求解弹性力学的问题都将归结为复杂的偏微分方程组的边值问题。大多数问题难以得到解析解，实际中存在较大困难当工程中某些结构的形状和受力情况具有一定特点时，经过适当简化和力学的抽象化处理，就可归结为所谓的弹性力学平面问题。一切现象看作是在一个平面内发生的，因而数学上属于二维问题。平面应变问题和平面应力问题。,6-1平面应变问题,考察一个母线与Oz轴平行且很长的物体，其所承受的外力与Oz轴垂直，而且它们的分布规律不随坐标z而改变。在上述条件下，可认为物体无限长，任取一横截面，则在
2、物体变形时，横截面上的个点都只能在其自身平面(Oxy平面）内移动，而沿Oz轴方向的位移是零。,由于不同的横截面都处于同样的地位，故其上只要具有相同的x和y坐标，就具有完全相同的位移，于是有,根据几何方程，应变分量具有如下特点：,平面应变问题,应力分量：首先，由物理方程得,假想将物体切成无数个与Oxy平面平行的薄片，虽然各薄片沿Oz轴方向的伸长被阻止，但由于各薄片相互挤压的结果，薄片表面的正应力是存在的，而且，它与x和y联系着。,将式(d)代入其它两个表征正应变的物理方程，同时，令,应用方程(6-1)至(6-4)，再配上一定的边界条件，就可求解平面应变问题。,6-2平面应力问题,设有一块薄板（厚
3、度为h），其所受外力（包括体力）平行于板平面（Oxy平面），并沿厚度方向(Oz方向）不变，在板的两表面上（即z=h/2处），不受外力作用，即有,由于条件(a)，并因板很薄，所以在板内部，应力z yz xz显然是很小的。其它应力分量虽沿厚度方向有变化，但根据同样的理由，这种变化是不明显的。,因此，可认为板内部到处都有：,应力具有这种性质的问题，称为平面应力问题。由物理方程可知，平面应力问题的应变分量具有如下特点,6-3 应力解法 把平面问题归结为双调和方程的边值问题,几点说明：对于体力为常量的平面问题，无论是平面应变问题，还是平面应力问题，最终都归结为在给定的边界条件下求解双调和函数（6-15）
4、的问题，这里函数U(x,y)成为艾里应力函数。由U可以获得应力分量，进而获得应变分量和位移分量。对于弹性力学平面问题，应力函数U的定义域是平面区域，在平面应变问题中代表任一横截面，而在平面应力问题中代表薄板的中面。如果应力函数的定义域为单连通的，且为第一类边值问题，则在两类问题具有相同的应力函数定义域和相同的应力边界条件时，就会求得相同的应力分量，与弹性常数无关。对于相应的位移分量，因在求解过程中要用到物理方程，故两类问题显然不同。对于第二类和第三类边值问题，因在求解时用到位移边界条件，故具有相同定义域和相同边界条件的两类问题的应力分量是不同的。而多连通情况就更为复杂。,6-4 用多项式求解平
5、面问题,平面问题,求解双调和方程的问题,应力函数U的确定,利用多项式逆解法来解答一些具有矩形边界且不计体力的平面问题（如矩形板或梁），其基本思想是：对不计体力的矩形梁，在给定的坐标系下，分别给出幂次不同并满足双调和方程（6-15）的代数多项式应力函数，由此求得应力分量，然后考察这些应力对应于边界上什么样的面力，从而得知该应力函数能解决什么问题。,（1）一次多项式,不论系数何值，都能满足方程（6-15），对应的应力分量为,这对应于无应力状态。因此，在任何应力函数中，增加一个x,y的一次函数，并不影响应力分量的值,（2）二次多项式,不论系数何值，都能满足方程（6-15），对应的应力分量为,代表了均
6、匀应力状态。特别地，如果b2=0，则代表双向均匀拉伸；如果a2=c2=0，则代表纯剪。,（3）三次多项式,不论系数何值，都能满足方程（6-15），现只考虑U=d3y3的情况（a3=b3=c3=0)作为示例。对应的应力分量为,（4）四次多项式,要使它满足方程(6-15)，各系数必须满足一定的关系，将它代入方程(6-15)，得,于是，上述四次多项式应写为,现在，式中的4个系数不论取何值，都能满足方程（6-15）。特别地，取a4=b4=c4=0，即U=d4xy3的情况,对应的应力分量为,（5）五次多项式,代入方程(6-15)，得,因为此方程对所有x和y都成立，故必须有,于是，将e5和f5用其它系数表
7、示，有,现在，式中的4个系数不论取何值，都能满足方程（6-15）。特别地，取a4=b4=c5=0，则,于是，上述五次多项式成为,对应的应力分量为,在矩形梁的边界上，应力分布如下图,6-5 悬臂梁一端受集中力作用,考察一根长为L、高为h的矩形截面悬臂梁（宽度为1），其左端面上受切向分布力作用，合力为F；不计梁的自重，分析梁的应力和变形,首先，这是一个平面应力问题，可采用半逆解法进行求解：逐步地凑取幂次不同的双调和多项式函数，直到由此求得的应力分量满足问题的边界条件为止。分析问题的受力情况，发现在矩形梁的两个断面上，即x=0，L处，外力分布情况大致与四阶多项式的特例（图示）情况类似；但是在上下边界
8、上，即y=h/2处，比本问题多出了-3/4d4h2的切应力。为了抵消这部分切应力，试在应力函数U=d4xy3上叠加一个与纯剪对应的应力函数。,与材料力学结果一致！,除了上述两种固定方式之外，还可以给出很多种固定方式，但在选取这种或那种固定方式时，必须与实际情况相接近。通常，弹性力学中所采用的固定方式，较难实现，在实际工程中只能通过近似地实现这种固定方式。,6-6 悬臂梁受均匀分布载荷作用,常数项对应力不产生影响，略去。,一次项和常数项对应力不产生影响，略去。,6-7 简支梁受均匀分布荷载作用,一根长为L、宽为h的矩形截面的窄梁（取一单位厚度），梁的上边界受有均匀分布的荷载q的作用；梁支撑于两端
9、，假定其支承反力是按分布于两端截面内的剪力的形式作用于梁上；不计自重。,采用一种新的方法：以材料力学的结果作为基础，验证它是否满足弹性力学的全部方程，如果不满足，就设法加以修正，直到满足全部方程和全部边界条件为止。,并不满足双调和方程（6-15），不能作为应力函数，需要修正。,可以抛掉，因为函数(e)中已经包含了相似的项。于是 H=-4B-F,切应力xy与材料力学结果一致,y表示纵向纤维间的挤压力，材料力学假定为零,x第一项与材料力学结果相同，第二项表示弹性力学的修正项。对于通常的长而低的梁，修正项很小，可以忽略。,梁长高比为L/h=4时，修正项占主要项1.7%；当长高比L/h=2时，修正项将
10、占主要项6.7%,6-8 三角形水坝,三角形水坝，左面铅直，右面与铅垂面成角，下端可认为伸向无穷，承受坝的自重和液压力作用，水坝与液体的密度分别为和1，坐标选取如右图。平面应变问题。对坝体内的任一点，每个应力分量包含两部分：第一部分：重力产生，与g成正比；第二部分：液体压力产生，与1 g成正比；每一部分与,x,y有关。于是，各应力分量应该包含下列形式的两部分： gN1(,x,y), 1 gN2(,x,y) N1和N2为由,x,y按某种形式组成的数量。,假设本问题具有多项式解，采用量纲分析法，确定N1和N2的幂次。【应力】L-1MT-2， 【g】和【1 g】 L-2MT-2，【】 1，【x】和【y】 L【gN1(,x,y)】和【1 gN2(,x,y)】 【应力】？N1和N2必须与x和y成一次幂的关系。由应力与应力函数之间的关系可知，应力函数为三次多项式，即,对于前述问题，多具有代数多项式形式的解，因此较容易通过半逆解法凑取所要求的应力函数，从而求得应力分量和位移分量。这种方法具有局限性，要求物体的主要边界上的荷载时连续的，而且能表示成代数多项式的形式。如果荷载并不具有这个特点，甚至是不连续的，则可采用三角级数或傅里叶变换求解,
