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1、二元一次不定方程的解法 【摘要】本文主要通过三个实例详尽而具体的说明了二元一次不定方程的解法 【关键词】不定方程; 通解; 解法 不定方程是数论中一个古老的分支，至今仍是一个很活跃的数学领域 中小学数学竞 赛也常常因为某些不定方程的解法巧妙而引入不定方程问题 下面，就通过具体实例，来 示范说明一下不定方程的解法 定义形如ax by c(a,b,c z, ab 0) 的方程称为二元一次不定方程，求原方程的 整数解的问题叫做解二元一次不定方程 定理 1 原方程有整数解的充分必要条件是(a,b) | c 推论若(a,b) 1，则原方程一定有整数解 定理 2 若(a,b) 1，且(x , y ) 为原
2、方程的一个整数解( 特解) ，则原方程的全部整数 解( 通解) 都可表成 x x bt ， y y at,(t z) 或 x x bt ， y y at,(t z) 由上述定理可知，求不定原方程整数解的步骤是: x 判定原方程是否有解: 当d | c 时，原方程无整数解; 当 d | c 时，原方程有整数解 在有整数解时，方程同解变形，边除以 d，使原方程 转化为 (a,b) 1 的情形 求特解，写通解 ( 注: 通解形式不唯一) 可见，求特解是解二元一次不定方程的关键 首先，对方程的未知数系数较小，或系数与常数项有和、差、约数、倍数关系时观察法 是最简单易行的便捷方法,1,2,解 (15,
3、25) 5,5 |100 ， 原方程有整数解 15x 25y 1003x 5y 20,(3,5) 1 利用观察法可知(5, 1) 是这个方程的特解，因此方程的全部整数解是 x 5 5t,3,y 13t,，( tZ),其次，对于用观察法看不出特解，或未知数系数较大时，我们则可采用下列几种方法: 1、观察法 这种方法很简单, 它是通过观察便能看出二元一次不定方程的特解的方法。下面看个例 子: 例: 求不定方程5x 17y 17 的整数解 解: 根据二元一次不定方程有解的充要条件, (5,7) 1 方程有整数解经观察得: x 2, y 1 是一个特解,方程的所有整数解为,x 2 7t, y 1 5t
4、 (t z,从例题中我们看出, 这种方法显然很简便, 对于一些较简单的二元一次不定方程易观察 也很适用, 但它毕竟也有弊端, 有些方程不容易观察, 所以我们还需寻求新的方法。 2. 分离整数法 此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出 来，则剰下部分仍为整数，令其为一个新的整数变量，据此类推，直到能直接观察出特解的 不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解 例： 解不定方程37x 107y 25 解 (37,107) 1,1| 25 ， 原方程有整数解 先用 x，y 的系数中较小的 37 去除方程的两边，并解出 x，得 x 25107y 除以 37 再把上式
5、右边 y 的系数和常数项的整数部分分离出来，写成 x 137y (12 4y) 除以 37 由于 x，y 都是整数，13y 也是整数，则12 4y 除以 37 也一定是整数，则可令 y 3 ( 由于此时 12 + 4 3 除 37 Z) ，则有 x 8,补 充 说 明 假 设 通 过 原 式 中 未 看 出 特 解 ， 可 令 12 4y,除,37 t z, 4y 37t 12, y (12 37t) 除 4 ) 3 9t,4,则 t 除 4 z ，有t 0 ，从而有 y 3 ，可推得 x 8 这样得原不定方程的特解为 x 8 ， y 3,，( tZ),原不定方程的通解为 x 8107t, y
6、 3 37t 3. 逐渐减小系数法 此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的 系数为 1 的不定方程为止，直接解出这样的不定方程( 或可以直接能用观察法得到特解 的不定方程为止，再依次反推上去) 得到原方程的通解 例： 解不定方程37x 107y 25,解 (37,107) 1,1| 25 ， 原方程有整数解,由37 107,用 y 来表示 x，得,x 25107y 37 = 1 3y + 12 + 4y 除 37 则令12 4y 37 k z ，即4y 37k 12 由 4 37 ，用 k 来表示 y，得 y 12 37k 4 3 9k k 除 4 则令k
7、4 t z ，得k 4t 将上述结果一一代回，得原方程的通解为 x 8107t, y 3 37t ，( tZ) 4. 辗转相除法 此法主要借助辗转相除式逆推求特解 例： 解不定方程37x 107y 25 解 107 372 33, 37x 107y 25 原方程有整数解用辗转相除法求特解: 37 331 4, 33 48 1. 从最后一个式子向上逆推得到 37(26) 1079 1 ， 37(2625) 107(925) 25 则特解为 x 26 25 650 ， y 9 25 225 通解为 x 650 107t 8 107(t 6),y 225 37t 3 37(t 6),(t z),，(
8、 tZ),或改写为 x 8107t, y 3 37t 5. 欧拉算法 受辗转相除法的启示，此题可简化为采用欧拉算法的方法求解 其实质仍是找出( a， b) 表为a，b 的倍数和时的倍数，从而求出特解 例 5 解不定方程37x 107y 25,解 (37,107) 1,1| 25 ， 原方程有整数解（见抄） 37(26) 1079 1 ， 37(2625) 107(925) 25 则特解为 x 26 25 650 ， y 9 25 225 通解为 x 650 107t 8 107(t 6) ， y 225 37t 3 37(t 6),(t z,，( tZ),或改写为 x 8107t, y 3 3
9、7t 6. 同余替换法 此法主要是取未知量系数绝对值较小者作为模，对另一系数和常数项取同余式，将其值 替换为较小的同余值，构成一个新的不定方程，据此类推，直到某不定方程的一个变量系数 为 1 为止，然后一一代回，直接求出原不定方程的通解 例： 解不定方程37x 107y 25,解 (37,107) 1,1| 25 ， 原方程有整数解 （见抄）则原方程转化为k 4t 0 ， 即 k 4t ，将其代入( 1) ，有 y 3 37t 再将上式代入原方程，有 x 8 107t ， 综上得原方程的通解为 x 8107t, y 3 37t,，( tZ),最后，对于未知数系数和常数项之间有某些特殊关系的不定
10、方程，如常数项可以拆成两 未知数系数的倍数的和或差的不定方程，可以采用分解常数项的方法去求解方程 例:： 解不定方程3x 5y 143 解3x 5y 143 ， 3x 5y 140 3 ， 3(x 1) 5( y 28) 0 (3,5) 1 ，x 1 5t, y 28 3t,5,6,原方程的通解为 x 1 5t ， y 28 3t,(t z) 定理: 考虑二元一次方程 ax by c ( 1) 其中 a、b、c 是整数, 且 ab 0,(a,b) 1,b | c, 则方程( 1) 的一切整数解可以表示成 x bt, y k at 其中 t=0、1, 2, , k= c 除 b 证明:( ) 令
11、 x bt, y k at, k c 除 b, 那么 ax by(k at) bk c 即( 2) 是( ) 的解. ( ) 设 x , y 是方程( 1) 的任一整数解, 则ax by c 则 b | c ，可设c bk , 则 x (c by 除 a） (bk by 除 a） b(k y ) 除 a） 由于 x , y 是方程( 1) 的整数解, 故 x 必为整数, 从而 b(k y ) 除 a 也必为整数。又 (a,b) 1, 故a | (k y ) , 可设 t k y 除 a, 得 x bt , y k at . 因此, x, y可表示成( 2) 的形式。 由( ) 、( ) 知,(
12、 2) 式表示了方程( 1) 的一切整数解, 证毕。 推论: 将定理中条件b | c 换为a | c 时, 方程( 1) 的一切整数解可表示成 x k bt, y at 当方程系数 a | c 和 b | c 均不成立时, 可以用行列式变换使得第一项或第二项的系数 能整除 c。再根据定理或推论来求出原方程的整数解。 例：.求7x 4y 100 的一切整数解。 解: 因为(7, 4) 1 且4 |100 , 由定理可得所求解为 x 4t, y 25 7t 其中t 0, 1, 2, 例：. 求107x 38y 30 的一切整数解。 解: 107 和 38 均不能整除 30, 故不能直接套用定理。我
13、们做行列式变换:（抄） 这样原方程可化为: 7(14x 5y) 3( y 3x) 30 由于3 | 30 , 这样, 由定理知原方程的解为,7,14x 5y 3t, y 3x 10 7t 即 x 50 38t, y 140 107t , 其中t 0, 1, 2, 7、参数法 这种方法是解出系数绝对值较小的未知数, 将其写成几部分和的形式, 然后引进参数, 于是便又得到一个新的不定方程, 这时用观察法便可得出新方程的特解, 然后再用代入法就 可得出原方程的特解, 进而求出通解。下面用例子说明此种方法的解题过程: 例: 求7x 19y 213 整数解 解: 从系数绝对值较小的 x 解之得: （见抄
14、）于是得到新不定方程7u 5y 3 这时用观察法便知u 1， y 2 是方程的特解 将 y 2 代入得 x 25 所以原方程的通解为: x 25 19t ， y 7 2t (t z) 注: 有时要求求不定方程的正整数解, 这时只需 x , y 均大于 0 解不等式组便可求 t 的 范围, 然后 t 取整数就可以得出正整数解了。 总之，二元一次不定方程的解法很多，也很巧妙、有趣要想灵活的去求解二元一次不 定方程，除了要掌握各种具体的解法以外，还要学会具体问题具体分析，并要具有一定的将 所学知识融会贯通的能力 不定方程是数论中一个古老的分支,至今仍是一个很活跃的数学领域.中小学数学竞 赛也常常因为
15、某些不定方程的解法巧妙而引入不定方程问题.下面,我就通过三道具体实例, 来示范说明一下不定方程的解法.定义形如 ax by c(a,b,c z, ab 0) 的方程称为二元 一次不定方程,求原方程的整数解的问题叫做解二元一次不定方程.定理1原方程有整数解的 充分必要条件是 (a,b) | c .推论若 (a,b) 1,则原方程一定有整数解.定理2若 (a,b) 1,且 (x , y ) 为原方程的一个整数解(特解),则原方程的全部整数解(通解)都可表成 x x bt, y y at(t z) 或 xy=xy00+-batt,(tZ).由上述定理可知,求不定原方程整 数解的步骤是: (a,b) d .判定原方程是否有解:当 d | c 时,原方程无整数解;当 d | c 时,原方程有整数解.在有整数解时,方程同解变形,两边除以 d,使原方程转化为 (a,b) 1的 情形.求特解,写通解.(注:通解形式不唯一)可见,求特解是解二元一次不定方程的关键.首先,8,对方程的未知数系数较小,或系数与常数项有和、差、约数、倍数关系时观,参考文献】 1人民教育出版社中学数学室 代数与初等函数 北京: 人民教育出版社，1999 2王元 高等师范院校小学教育专业数学教材初等数论 北京: 人民教育出版 社，2003 3王进明 大学本科小学教育专业教材初等数论北京: 人民教育出版社，2002
