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1、1中考数学规律探索性问题复习导学案本资料为 WORD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 文 章来 源 课件 5Y k J.cO m 中考二轮专题复习：第 4 课时 规律探索性问题第一部分 讲解部分一专题诠释规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。二解题策略和解法精讲规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的
2、规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规2律它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力题型可涉及填空、选择或解答 。三考点精讲考点一：数与式变化规律通常根据给定一列数字、代数式、等式 或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。例 1. 有一组数： ，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第 n（n 为正整数）个数为 分析：观察式子发现分子
3、变化是奇数，分母是数的平方加 1根据规律求解即可解答：解：； ；第 n（n 为正整数）个数为 点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的此题的规律为：分子变化是奇数，分母是数的3平方加 1例 2（2010 广东汕头）阅读下列材料：12 (123012)，23 (234123)，34 (345234)，由以上三个等式相加，可得 122334 345 20读完以上材料，请你计算下列各题：1122334 1011（写出过程） ；2122334 n(n 1) _；3123 234345789 _分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进
4、行简化计算，从而得到公式 ；照此方法，同样有公式： 4解：（ 1）12 (123012)，23 (234123)，34 (345234)，1011 (10111291011)，12 23341011 101112440（2） （3）1260点评：本题通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求如果学生不掌握这些数列求和的公式，直接硬做，既耽误了考试时间，又容易出错而这些数列的求和公式的探索，需要认真阅读材料，寻找材料中提供的解题方法与技巧，从而较为轻松地解决问题例 3（2010 山东
5、日照， 19，8 分）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变不等式组是否也具有类似的性质？完成下列填空：已知用 “”填空5+2 3+1-3-1 -5-251-2 4+1一般地，如果 那么 a+c b+d （用“”或“”填空）你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？分析：可以用不等式的基本性质和不等式的传递性进行证明。解答：，； 证明： ab ，a cb c 又c d，b c b d，a c b d 点评：本题是一个考查不等式性质的探索规律题，属于中等题要求学生具有熟练应用不等式的基本性质和传递性进行解题的能力区分度较好考点二：点阵变化规律在这类有关点阵规律中，我们需要根
6、据点的个数，确定下一个图中哪些部分发生了变化，变化的的规律是什么，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点例 1：如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为 2，4，6， ，2n，请你探究出前 n 行的点数和所满足的规律、若前 n 行点数和为 930，则 n=（）A29B30 C31D 326分析：有图个可以看出以后每行的点数增加 2，前 n 行点数和也就是前 n 个偶数的和。解答：解：设前 n 行的点数和为 s则 s=2+4+6+2n= =n（n+1 ） 若 s=930，则 n（n+1 ）=930 （n+31） （n30）=0n=3
7、1 或 30故选 B点评：主要考查了学生通过特例，分析从而归纳总结出一般结论的能力例 2 观察图给出的四个点阵，s 表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第 n 个点阵中的点的个数 s 为（）A.3n2B.3n1 C.4n+1D.4n3考点：规律型：图形的变化类。专题：规律型。分析：根据所给的数据，不难发现：第一个数是 1，后边是依次加 4，则第 n 个点阵中的点的个数是 1+4（n1）=4n3解答：解：第 n 个点阵中的点的个数是 1+4（n1）=4n3故选 D点评：此题注意根据所给数据发现规律，进一步整理计算考点三：循环排列规律7循环排列规律是运动着的规律，我们只要根
8、据题目的已知部分分析出图案或数据每隔几个图暗就会循环出现，看看最后所求的与循环的第几个一致即可。例 1：（2007 广东佛山）观察下列图形，并判断照此规律从左向右第 2007 个图形是（）A B C D 考点：规律型：图形的变化类专题：规律型分析：本题的关键是要找出 4 个图形一循环，然后再求 2007 被4 整除后余数是 3，从而确定是第 3 个图形解答：解：根 据题意可知笑脸是 1，2 ， 3，4 即 4 个一循环所以 20074=5013所以是第 3 个图形故选 C点评：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化
9、的通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解例 2：下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察， 在前 2012 个梅花图案中，共有 个“ ”图案 考点：规律型：图形的变化类专题：规律型分析：注意观察图形中循环的规律，然后进行计算8解答：解：观察图形可以发现：依次是向上、右、下、左 4 个一循环所以 20134=503 余 1，则共有 503+1=504 个考点四：图形生长变化规律探索图形生长的变化规律的题目常受到中考命题人的青睐,其原因是简单、直观、易懂.从一些基本图形开始,按照生长的规律,变化出一系列有趣而美丽的图形.因此也引起了应试人的兴趣,努力揭示内在的奥秘,从而使问题规律清
10、晰, 易于找出它的一般性结论.例 1（2010 四川乐川）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值如图所示，是一棵由正方形和含 30角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为 S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为 S2， ，第 n 个正方形和第 n 个直角三角形的面积之和为 Sn设第一个正方形的边长为1请解答下列问题：（1）S1= ；（2）通过探究，用含 n 的代数式表示 Sn，则 Sn= 分析：根据正方形的面积公式求出面积，再根据直角三角形三条边的关系运用勾股定理求出三角形的直角边，求出 S1，
11、然后利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公式解答：解：（1）第一个正方形的边长为 1，9正方形的面积为 1，又直角三角形一个角为 30，三角形的一条直角边为 ，另一条直角边就是 = ，三角形的面积为 2= ，S1=1+ ；（2） 第二个正方形的边长为 ，它的面积就是 ，也就是第一个正方形面积的 ，同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的 ，S2=（1+ ） ，依此类推，S3 （1+ ） ，即 S3（1+ ） ，Sn= （n 为整数） 点评：本题重点考查了勾股定理的运用例 2（2011 重庆江津区）如图，四边形 ABCD 中，ACa，BD b，且 AC 丄 BD，顺次连接四边形
12、ABCD 各边中点，得到四边形 A1B1C1D1，再顺次连接四边形 A1B1C1D1 各边中点，得到四边形 A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn下列结论正确的有（）四边形 A2B2C2D2 是矩形；四边形 A4B4C4D4 是菱形；四边形 A5B5C5D5 的周长是 四边形 AnBnCnDn 的面积是 10A、B、C、D、分析：首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD 中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：根据矩形的判定与性质作出判断；根据菱形的判定与性质作出判断；由四边形的周长公式：周长边长之和，来计算四边形A5B5C5D5 的周长；根据四
13、边形 AnBnCnDn 的面积与四边形 ABCD 的面积间的数量关系来求其面积解答：解：连接 A1C1，B1D1在四边形 ABCD 中，顺次连接四边形 ABCD 各边中点，得到四边形 A1B1C1D1 ，A1D1BD，B1C1BD，C1D1AC ， A1B1AC；A1D1B1C1，A1B1C1D1，四边形 ABCD 是平行四边形；B1D1A1C1（平行四边形的两条对角线相等） ；A2D2C2D2 C2B2 B2A2 （中位线定理） ，四边形 A2B2C2D2 是菱形；故本选项错误；由 知，四边形 A2B2 C2D2 是菱形；根据中位线定理知，四边形 A4B4C4D4 是菱形；故本选项正确；11
14、根据中位线的性质易知，A5B5 A3B3 A1B1 AB， B5C5 B3C3 B1C1 BC，四边形 A5B5C5D5 的周长是 2 （a+b） ；故本选项正确；四边形 ABCD 中， ACa，BDb，且 AC 丄 BD，S四边形 ABCDab；由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，四边形 AnBnCnDn 的面积是 ；故本选项错误；综上所述，正确；故选 C点评：本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半） 解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系例 3：（2009 锦州）图中的
15、圆与正方形各边都相切，设这个圆的面积为 S1；图 2 中的四个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的面积之和为 S2；图 3 中的九个圆半径相等，并依次外切，且与正方形的各边相切，设这九个圆的面积之和为S3，依此规律，当正方形边长为 2 时，第 n 个图中所有圆的面积12之和 Sn 分析：先从图中找出每个图中圆的面积，从中找出规律，再计算面积和解答：根据图形发现：第一个图中，共一个愿，圆的半径是正方形边长的一半，为 1， S1=r2=；第二个图中，共 4 个圆，圆的半径等于正方形边长的 ，为 2= ； S2=4r2=4（ ）2=，依次类推，则第 n 个图中，共有 n2 个圆，所有圆的面积之和Sn=n2r2=n2（ ）2=， 即都与第一个图中
