2021年定义证明二重极限新编修订

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1、不问收获，但问耕耘，把最好的资料送给最好的自己！定义证明二重极限姓名：XXX时间：20XX年X月X日第一篇：定义证明二重极限定义证明二重极限就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与a的差的绝对值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为a关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点p(x，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数a就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平

2、面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于d的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对d内适合不等式0<户几卜8的一切点p，有不等式v(p)一周<。成立，则称a为函数人p)当pp。时的极限.定义3设函数x一人工，”的定义域为d，点产人工。，人)是d的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点p(x，ed，都有成立，则称a为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人2<(x-1)/x.而(x-1)/x极限为0故(inx/x)的极限为02)用单调有界数列收敛:分三种情况,x0=a时,显然极限

3、为ax0>a时,xn-x(n-1)=/2<0,单调递减且xn=/2>a,a为数列下界,则极限存在.设数列极限为a,xn和x(n-1)极限都为a.对原始两边求极限得a=/2.解得a=a同理可求x0<a时,极限亦为a综上,数列极限存在,且为(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有

4、例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以

5、下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:(只证“+”和“”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)例2例3註:关于的有理

6、分式当时的极限.例4例5例6例7第二篇：证明二重极限不存在证明二重极限不存在如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。由二重极限的定义知,要讨论limxx0yy0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limxx0yy0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(

7、x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limxx0yy0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。例如,容易知道limx0y0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)1)。为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案2若用沿曲线，(，y)一g(，y)=0趋近于(，y0)来讨论，一0g，y。可能会出现错误，只有证明了(，)不是孤立点后才不会出错。o13a1673-3878(20XX)0l_0l02

8、_02如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。只是略谈一下在判断二重极限不存在时。一个值得注意的问题。由二重极限的定义知，要讨论limf(x，y)不存在，通常x10yy0的方法是：找几条通过(或趋于)定点(xo，yo)的特殊曲线，如果动点(x，y)沿这些曲线趋于(xo，y。)时，f(x，y)趋于不同的值，则可判定二重极限limf(x，y)不存在，这一方i10ry0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要经过(xo，y。)，并且定点是这条曲线的非孤立点，这一点很容易疏忽大意，特别

9、是为图方便，对于型如2的极限，在判卜iogx，yyy0断其不存在时，不少人找的曲线是f(x，y)一g(x，y)：0，这样做就很容易出错。3当沿曲线y=-x+x趋于(00)时，极限为lim(-x+x)/x=-1;当沿直线y=x趋于(00)时，极限为limx/2x=0。故极限不存在。4x-y+x+yf(x,y)=x+y它的累次极限存在：x-y+x+ylimlim=-1y->0x->0x+yx-y+x+ylimlim=1x->0y->0x+y当沿斜率不同的直线y=mx,(x,y)->(0,0)时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。第三篇：用极限定义证明极限例1、用数

10、列极限定义证明：limn?2?0 n?n2?7n?2时n?2(1)2n(2)2nn?22(3)24(4)|2?0|?2?2?2? nn?7n?7n?7n?nn?1n?n2上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号（1）、（2）、（3）均成立方可。第一个等号成立的条件是n>2；不等号（1）成立的条件是2<n；不等号（2）成立的条件是7<n；n4，即n>2；不等号（4）成立的条件是n?，故取n=max7, 2?44。这样当n>n时，有n>7，n?。 ?4 因为n>7,所以等号第一个等号、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因为n?，所以不等号（3）成立

11、的条件是1?|不等式（4）能成立，因此当n>n时，上述系列不等式均成立，亦即当n>n时，在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n或n?2?0|?。 n2?7n的方法，因此，对于具体的数，2可把它放大为（k为大于零的常数）的形式 knn?4?0 n?n2?n?1n?4n?4n?4时n?n2n2(1)|2?0|?2?2? n?n?1n?n?1n?n?1n2n22不等号（1）成立的条件是n?,故取n=max4, ,则当n>n时，上面的不等式都成?例2、用数列极限定义证明：lim立。注：对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一部分。如： n2?n?1?n2n2?n

12、?1?nn?n?n22n(n?1)2?n?1(?1)n例3、已知an?，证明数列an的极限是零。 2(n?1)(?1)n1(1)1(2)证明：?0(设0?1)，欲使|an?0|?|?成立 22(n?1)(n?1)n?111?解得：n?1，由于上述式子中的等式和不等号（1）对于任意的正整n?1?1数n都是成立的，因此取n?1，则当n>n时，不等号（2）成立，进而上述系列等式由不等式?和不等式均成立，所以当n>n时，|an?0|?。在上面的证明中，设定0?1，而数列极限定义中的?是任意的，为什么要这样设定？这样设定是否符合数列极限的定义？在数列极限定义中，n是一个正整数，此题如若不设定

13、0?1，则n?1就有1?可能不是正整数，例如若?2，则此时n1，故为了符合数列极限的定义，先设定0?1，这样就能保证n是正整数了。那么对于大于1的?，是否能找到对应的n？能找到。按照上面已经证明的结论，当?0.5时，有对应的n1，当n>n1时，|an?0|0.5成立。因此，当nn1时，对于任意的大于1的?，下列式子成立：|an?0|0.51?，亦即对于所有大于1的?，我们都能找到与它相对应的n=n1。因此，在数列极限证明中，?可限小。只要对于较小的?能找到对应的n，则对于较大的?就自然能找到对应的n。第四篇：极限 定义证明极限定义证明趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0x趋近于负1/2

14、，2x加1分之1减4x的平方等于2这两个用函数极限定义怎么证明?x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0证明：对于任意给定的>0，要使不等式|sinx/x-0|=|sinx/x|<成立，只需要|sinx/x|<,即sinx/x<(x+),则x>sinx/,|sinx|1只需不等式x>1/成立，所以取x=1/，当x>x时，必有|sinx/x-0|<成立，同函数极限的定义可得x+时，sinx/x极限为0.x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2证明：对于任意给定的>0，要使不等式|=maxa1,.am,x趋于正无穷。把maxa1,.a

15、m记作a。不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,m>1;那么存在n1,当x>n1,有a/m<=f1(x)注意到f2的极限小于等于a，那么存在n2，当x>n2时，0<=f2(x)同理，存在ni，当x>ni时，0<=fi(x)取n=maxn1,n2.nm;那么当x>n,有(a/m)<=f1(x)<=f1(x)+.fm(x;g(x)=maxf1(x),.fm(x);然后求极限就能得到limg(x)=maxa1,.am。其实这个看起来显然，但对于求极限能放到括号里面，但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。有种简单点的方法，就是maxa,b(请继续关注wwW.haoWoRD.cOm)=|a+b|/2+|a-b|/2从而为简单代数式。多个求max相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后继续，从而为有限次代数运算式，故极限可以放进去。2一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几