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1、1图 2图 3图 1另辟蹊径 解决二次函数中平行四边形存在性问题陕西省洋县教研室 柯贤华 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解为此，笔者另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题1 两个结论，解题的切入点数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。1.
2、1 线段中点坐标公式平面直角坐标系中，点 A 坐标为(x 1,y1)，点 B 坐标为(x 2,y2)，则线段 AB 的中点坐标为(, ).21x21y证明 ： 如图 1，设 AB 中点 P 的坐标为(x P,yP).由 xP-x1=x2-xP，得 xP= ，同理21yP= ，所以线段 AB 的中点坐标为( , ).21211.2 平行四边形顶点坐标公式 ABCD 的顶点坐标分别为 A(xA,yA)、B(x B,yB)、C(x C,yC)、D(x D,yD)，则：xA+xC=xB+xD；y A+yC=yB+yD.证明： 如图 2，连接 AC、 BD，相交于点 E点 E 为 AC 的中点，E 点坐
3、标为( , ).Ax2Cy又点 E 为 BD 的中点，E 点坐标为( , ).DBx A+xC=xB+xD；y A+yC=yB+yD. 即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等2 一个基本事实，解题的预备知识如图 3，已知不在同一直线上的三点 A、B、C ，在平面内另找一个点 D，使以A、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形答案有三种：以 AB 为对角线的 ACBD1，以 AC 为对角线的 ABCD2，以 BC 为对角线的 ABD3C3 两类存在性问题解题策略例析与反思3.1 三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题例 1 已知抛物线 y=x2-2x+a(a0）与 y
4、轴相交于点 A，顶点为 M.直线 y= x-a 分别21与 x 轴、y 轴相交于 B、C 两点，并且与直线 AM 相交于点 N.(1)填空：试用含 a 的代数式分别表示点 M 与 N 的坐标，则 M( ), N( )；2图 4图 5(2)如图 4，将NAC 沿 y 轴翻折，若点 N 的对应点 N 恰好落在抛物线上，AN 与 x轴交于点 D，连接 CD，求 a 的值和四边形 ADCN 的面积；(3)在抛物线 y=x2-2x+a(a0）上是否存在一点 P，使得以 P、A、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，试说明理由 .解：(1)M(1,a-1)，N( ,-
5、 )；(2)a=- ；S 四边形 ADCN= ；341491689(3)由已知条件易得 A(0,a)、C(0,-a)、N( ,- ).设 P(m,m2-2m+a).a3当以 AC 为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式（解题时熟练推导出） ，得：, .ama231408152P 1( ,- )；258当以 AN 为对角线时，得:, (不合题意，舍去).ama231048152当以 CN 为对角线时，得:, .ama23104832P 2(- , ).87在抛物线上存在点 P1( ,- )和 P2(- , )，使得以 P、A、C 、N 为顶点的四边形58187是平行四边形.反思：已知三个定点的坐标
6、，可 设出抛物线上第四个顶点的坐 标，运用平行四 边形顶点坐标公式列方程（组）求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况 讨论 .3.2 两个定点、两个动点，探究平行四边形存在性问题例 2 如图 5，在平面直角坐标系中，抛物线 A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三点.（1）求该抛物线的表达式；（2）点 Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线上，要使以点 Q、P、A、B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点 P 的坐标.解 ：（1）易求抛物线的表达式为 y= ；132x(2)由题意知点 Q 在 y 轴上，设点 Q 坐
7、标为(0,t )；点 P 在抛物线上，设点 P 坐标为(m, ).132m尽管点 Q 在 y 轴上，也是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了3图 6当以 AQ 为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得： -1+0=3+m，m=-4，P 1(-4,7)；当以 BQ 为对角线时，得： -1+m=3+0，m= 4，P 2(4, )；5当以 AB 为对角线时，得：-1+3=m+ 0，m=2，P 3(2,-1).综上，满足条件的点 P 为 P1(-4,7)、P 2(4, )、P 3(2,-1).5反思：这种题型往往特殊，一个 动点在抛物线上，另一个 动 点在 x 轴（y 轴）或对称轴或某一定直
8、线上设出抛物线上的 动点坐标，另一个 动点若在 x 轴上， 纵坐标为 0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在 y 轴上，横坐标为 0，则用平行四 边形顶点横坐标公式 该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式本例中点 Q 的纵坐标 t 没有用上，可以不 设另外，把在定直线上的动点看成一个定点， 这样就转化为三定一动 了，分 别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况 讨论. 例 3 如图 6，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，AMB 的面积为S求
9、S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值；（3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y=-x 上的动点，判断有几个位置能使以点 P、Q 、B 、 O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标解：（1）易求抛物线的解析式为 y= x2+x-4；1（2）s=-m 2-4m(-4m0)；s 最大 =4（过程略） ；（3）尽管是直接写出点 Q 的坐标，这里也写出过程由题意知 O(0,0)、B(0,-4).由于点 Q 是直线 y=-x 上的动点，设 Q(s,-s)，把 Q 看做定点；设 P(m, m2+m-4).1当以 OQ 为对角线时，42140mss=-2 .5Q 1
10、(-2+ ,2- )，Q 2(-2- ,2+ )；5当以 BQ 为对角线时，sms420s 1=-4，s 2=0(舍).Q 3(-4,4)；当以 OB 为对角线时，4210ms4s 1=4， s2=0(舍).Q 4(4,-4).综上，满足条件的点 Q 为 Q1(-2+ ,2- )、Q 2(-2- ,2+ )、Q 3(-4,4)、55Q4(4,-4).反思：该题中的点 Q 是直线 y=-x 上的动点，设动点 Q 的坐 标为( s,-s)，把 Q 看做定点，就可根据平行四边形顶点坐标公式列方程组了.4 问题总结 这种题型，关键是合理有序分类：无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组） 这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合的思想.
