《抽象函数经典习题27页》由会员分享,可在线阅读,更多相关《抽象函数经典习题27页(27页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、抽象函数经典习题新泰一中 闫辉1. 若函数的定义域为,则函数的定义域为( )A. B. C. D.2. 若 A102 B99 C101 D1003. 定义R上的函数满足:( ) A B2 C4 D64. 定义在区间(-1,1)上的减函数满足:。若恒成立,则实数的取值范围是_.5. 已知函数是定义在(0,+)上的增函数,对正实数,都有:成立.则不等式的解集是_.6. 已知函数是定义在(-,3上的减函数,已知对恒成立,求实数的取值范围。7. 已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足: . (1)求的值; (2)判断的奇偶性,并证明你的结论; (3)若,求数列的前项和.8. 定义在R上的
2、函数y=f(x),f(0)0,当x0时,f(x)1,且对任意的a、bR,有f(a+b)=f(a)f(b),(1) 求证:f(0)=1;(2) 求证:对任意的xR,恒有f(x)0;(3)证明:f(x)是R上的增函数;(4)若f(x)f(2x-x2)1,求x的取值范围。9. 已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时, 0. (1)求; (2)求和; (3)判断函数的单调性,并证明.10. 函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有0;对任意,有;. (1)求的值; (2)求证: 在R上是单调减函数; (3)若且,求证:.11. 已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,. (1)证明:
3、; (2)证明: 在R上单调递减; (3)设A=,B=,若 =,试确定的取值范围.12. 已知函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称. (1)求的值; (2)证明: 函数是周期函数; (3)若求当时,函数的解析式,并画出满足 条件的函数至少一个周期的图象.13. 函数对于x0有意义,且满足条件减函数。 (1)证明:; (2)若成立,求x的取值范围。14. 设函数在上满足,且在闭区间0,7上,只有 (1)试判断函数的奇偶性; (2)试求方程=0在闭区间-2005,2005上的根的个数, 并证明你的结论 1. B 2. A 3. A 4. ,解:由得, ,得5. ;解:令,则,则. 函数
4、是定义在(0,+)上的增函数 , 由得,不等式的解集为。6. ;解:等价于 7. (1)解:令,则 令,则 (2)证明:令,则, 令,则 是奇函数。 (3)当时,令,则 故,所以,故8. (1)令a=b=0,则f(0)=f(0)2f(0)0 f(0)=1 (2)令a=x,b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) 由已知x0时,f(x)10,当x0,f(-x)0又x=0时,f(0)=10对任意xR,f(x)0(3)任取x2x1,则f(x2)0,f(x1)0,x2-x10 f(x2)f(x1) f(x)在R上是增函数(4)f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又1=f(
5、0),f(x)在R上递增由f(3x-x2)f(0)得:3x-x20 0x0, 令得,(2)任取任取,则令,故 函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有0;对任意,有;函数是R上的单调减函数.(3) 由(1)(2)知,而11. (1)证明:令,则 当时,故,当 时, 当时,则 (2)证明: 任取,则,0,故0时,f(x)1,且对任意的a、bR,有f(a+b)=f(a)f(b),(3) 求证:f(0)=1;(4) 求证:对任意的xR,恒有f(x)0;(3)证明:f(x)是R上的增函数;(4)若f(x)f(2x-x2)1,求x的取值范围。解 (1)令a=b=0,则f(0)=f(0)2f(0)0
6、f(0)=1(2)令a=x,b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) 由已知x0时,f(x)10,当x0,f(-x)0又x=0时,f(0)=10对任意xR,f(x)0(3)任取x2x1,则f(x2)0,f(x1)0,x2-x10 f(x2)f(x1) f(x)在R上是增函数(4)f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又1=f(0),f(x)在R上递增由f(3x-x2)f(0)得:3x-x20 0x2时,4. 已知f(x)在(1,1)上有定义,f()1,且满足x,y(1,1)有f(x)f(y)f()证明:f(x)在(1,1)上为奇函数;对数列x1,xn1,求f(xn)
7、;求证()证明:令xy0,2f(0)f(0),f(0)0令yx,则f(x)f(x)f(0)0f(x)f(x)0 f(x)f(x)f(x)为奇函数 ()解:f(x1)f()1,f(xn1)f()f()f(xn)f(xn)2f(xn)2即f(xn)是以1为首项,2为公比的等比数列f(xn)2n1()解: 而 6.已知函数的定义域为,且同时满足:(1)对任意,总有;(2)(3)若且,则有.(I)求的值;(II)求的最大值;(III)设数列的前项和为,且满足.求证:.解:(I)令,由(3),则由对任意,总有 (II)任意且,则 (III) ,即。 故即原式成立。 7. 对于定义域为的函数,如果同时满足
8、以下三条:对任意的,总有;若,都有成立,则称函数为理想函数(1) 若函数为理想函数,求的值;(2)判断函数是否为理想函数,并予以证明;(3) 若函数为理想函数,假定,使得,且,求证解:(1)取可得又由条件,故(2)显然在0,1满足条件;-也满足条件 若,则 ,即满足条件, 故理想函数 (3)由条件知,任给、0,1,当时,由知0,1,若,则,前后矛盾;若,则,前后矛盾故 8. 已知定义在R上的单调函数,存在实数,使得对于任意实数,总有恒成立。()求的值;()若,且对任意正整数,有, ,求数列an的通项公式; ()若数列bn满足,将数列bn的项重新组合成新数列,具体法则如下:,求证:。解:()令,
9、得,令,得,由、得,又因为为单调函数,()由(1)得,()由Cn的构成法则可知,Cn应等于bn中的n项之和,其第一项的项数为1+2+(n1)+1=+1,即这一项为2+11=n(n1)+1Cn=n(n1)+1+n(n1)+3+n(n1)+2n1=n2(n1)+=n3 当时,解法2:9.设函数是定义域在上的单调函数,且对于任意正数有,已知.(1)求的值;(2)一个各项均为正数的数列满足:,其中是数列的前n项的和,求数列的通项公式;(3)在(2)的条件下,是否存在正数,使 对一切成立?若存在,求出M的取值范围;若不存在,说明理由.解:(1),令,有,.再令,有, (2),又是定义域上单调函数, 当时,由,得,当时, 由,得,化简,得,即,数列为等差数