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1、抽象函数经典习题新泰一中 闫辉1. 若函数的定义域为,则函数的定义域为( )A. B. C. D.2. 若 A102 B99 C101 D1003. 定义R上的函数满足：（ ） A B2 C4 D64. 定义在区间（-1，1）上的减函数满足：。若恒成立，则实数的取值范围是_.5. 已知函数是定义在(0,+)上的增函数,对正实数,都有:成立.则不等式的解集是_.6. 已知函数是定义在（-，3上的减函数，已知对恒成立，求实数的取值范围。7. 已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足: . (1)求的值; (2)判断的奇偶性,并证明你的结论; (3)若,求数列的前项和.8. 定义在R上的
2、函数y=f(x)，f(0)0，当x0时，f(x)1，且对任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1） 求证：f(0)=1；（2） 求证：对任意的xR，恒有f(x)0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)f(2x-x2)1，求x的取值范围。9. 已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时, 0. (1)求; (2)求和; (3)判断函数的单调性,并证明.10. 函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有0;对任意,有;. (1)求的值; (2)求证: 在R上是单调减函数; (3)若且,求证:.11. 已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,. (1)证明:
3、; (2)证明: 在R上单调递减; (3)设A=,B=,若 =,试确定的取值范围.12. 已知函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称. (1)求的值; (2)证明: 函数是周期函数; (3)若求当时,函数的解析式,并画出满足 条件的函数至少一个周期的图象.13. 函数对于x0有意义，且满足条件减函数。 （1）证明：； （2）若成立，求x的取值范围。14. 设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有 （1）试判断函数的奇偶性； （2）试求方程=0在闭区间-2005，2005上的根的个数， 并证明你的结论 1. B 2. A 3. A 4. ,解:由得, ,得5. ；解：令，则，则. 函数
4、是定义在(0,+)上的增函数 , 由得，不等式的解集为。6. ；解：等价于 7. （1）解：令，则 令，则 （2）证明：令，则， 令，则 是奇函数。 （3）当时，令，则 故，所以，故8. （1）令a=b=0，则f(0)=f(0)2f(0)0 f(0)=1 （2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) 由已知x0时，f(x)10，当x0，f(-x)0又x=0时，f(0)=10对任意xR，f(x)0(3)任取x2x1，则f(x2)0，f(x1)0，x2-x10 f(x2)f(x1) f(x)在R上是增函数（4）f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又1=f(
5、0)，f(x)在R上递增由f(3x-x2)f(0)得：3x-x20 0x0, 令得,(2)任取任取,则令,故 函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有0;对任意,有;函数是R上的单调减函数.(3) 由（1）（2）知，而11. (1)证明:令,则 当时,故,当 时, 当时,则 (2)证明: 任取,则,0,故0时，f(x)1，且对任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（3） 求证：f(0)=1；（4） 求证：对任意的xR，恒有f(x)0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)f(2x-x2)1，求x的取值范围。解 （1）令a=b=0，则f(0)=f(0)2f(0)0
6、f(0)=1（2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) 由已知x0时，f(x)10，当x0，f(-x)0又x=0时，f(0)=10对任意xR，f(x)0(3)任取x2x1，则f(x2)0，f(x1)0，x2-x10 f(x2)f(x1) f(x)在R上是增函数（4）f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增由f(3x-x2)f(0)得：3x-x20 0x2时，4. 已知f(x)在(1，1)上有定义，f()1，且满足x，y(1，1)有f(x)f(y)f()证明：f(x)在(1，1)上为奇函数；对数列x1，xn1，求f(xn)
7、;求证()证明：令xy0，2f(0)f(0)，f(0)0令yx，则f(x)f(x)f(0)0f(x)f(x)0 f(x)f(x)f(x)为奇函数 ()解：f(x1)f()1，f(xn1)f()f()f(xn)f(xn)2f(xn)2即f(xn)是以1为首项，2为公比的等比数列f(xn)2n1()解： 而 6.已知函数的定义域为，且同时满足：(1)对任意，总有；(2)(3)若且，则有.(I)求的值；(II)求的最大值；(III)设数列的前项和为，且满足.求证：.解：（I）令，由(3),则由对任意，总有 （II）任意且，则 (III) ，即。 故即原式成立。 7. 对于定义域为的函数，如果同时满足
8、以下三条：对任意的，总有；若，都有成立，则称函数为理想函数(1) 若函数为理想函数，求的值；(2)判断函数是否为理想函数，并予以证明；(3) 若函数为理想函数，假定，使得，且，求证解：（1）取可得又由条件，故（2）显然在0，1满足条件；-也满足条件 若，则 ，即满足条件， 故理想函数 （3）由条件知，任给、0，1，当时，由知0，1，若，则，前后矛盾；若，则，前后矛盾故 8. 已知定义在R上的单调函数,存在实数,使得对于任意实数,总有恒成立。()求的值；()若,且对任意正整数,有, ,求数列an的通项公式； ()若数列bn满足，将数列bn的项重新组合成新数列，具体法则如下：，求证：。解：()令，
9、得，令，得，由、得，又因为为单调函数，()由（1）得，()由Cn的构成法则可知，Cn应等于bn中的n项之和，其第一项的项数为1+2+(n1)+1=+1，即这一项为2+11=n(n1)+1Cn=n(n1)+1+n(n1)+3+n(n1)+2n1=n2(n1)+=n3 当时，解法2：9.设函数是定义域在上的单调函数，且对于任意正数有，已知.（1）求的值；（2）一个各项均为正数的数列满足：，其中是数列的前n项的和，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，是否存在正数，使 对一切成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，说明理由.解：（1），令，有，.再令，有， （2）,又是定义域上单调函数， 当时，由，得，当时， 由，得，化简，得，即，数列为等差数
