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1、第六章 正弦电流电路基础6-1 正弦量一正弦量：随时间按照正弦规律变化的物理量，都称为正弦量，它们在某时刻的值称为该时刻的瞬时值，则正弦电压和电流分别用小写字母i、u表示。周期量：时变电压和电流的波形周期性的重复出现。周期T：每一个瞬时值重复出现的最小时间间隔，单位：秒（S）；频率f： 是每秒中周期量变化的周期数，单位：赫兹（Hz）。显然，周期和频率互为倒数，即f=1/T。交变量：一个周期量在一个周期内的平均值为零。可见，正弦量不仅是周期量，而且还是交变量。Imi(t)w t0二正弦量的表达式1. 函数表示法：最大值，反映正弦量在整个变化过程中所能达到的最大值；相位，反映正弦量变动的进程；角频
2、率（），反映正弦量变化的快慢。初相位，反映正弦量初值的大小、正负。，正弦量的三要素。已知， 则。2. 波形表示法， 。当时，最大值点由坐标原点左移。如下图。Imw t0i(t)三两个同频率正弦量的相位差设 则u(t)与i(t)的相位差 可见，对两个同频率的正弦量来说，相位差在任何瞬时都是一个常数，即等于它们的初相之差，而与时间无关。的单位为rad(弧度)或 (度)。主值范围为|。如果u i0 (如下图所示)，则称电压u的相位超前电流i的相位一个角度度，简称电压u超前电流i角度，意指在波形图中，由坐标原点向右看，电压u先到达其第一个正的最大值，经过，电流i到达其第一个正的最大值。反过来也可以说电
3、流i滞后电压u角度。0w tu(t), i(t)如果u i0，则结论刚好与上述情况相反，即电压u滞后电流i一个角度|，或电流i超前电压u一个角度|。又设 （1） 当，则，与同相。如下图u i=0 。w t0u(t)，u1(t)10（2） 当，与正交。如下图（这里=2+/2）w t0u(t)，u2(t)=2+/2w t0u(t)，u3(t)=2（3） 当,与反相。注意：1. 函数表达形式应相同，均采用cos或sin形式表示。如 2. 函数表达式前的正、负号要一致。当。3. 当两个同频率正弦量的计时起点(即波形图中的坐标原点)改变时，它们的初相也跟着改变，但它们的相位差却保持不变。所以两个同频率正
4、弦量的相位差与计时起点的选择无关。6-2正弦量的有效值任意周期函数 方均根值可见，周期量的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值取平方根。因此，有效值又称为方均根值。当周期量为正弦量时，将代人上式得其中所以 只适用于正弦量这样正弦量的数学表达式写为 。因此，正弦量的有效值可以代替最大值作为它的一个要素。对于正弦电流iImcos(t+i) 的有效值为I=Im/=0.707Im同理，正弦电压uUmcos(t+u)的有效值为UUm /0.707Um在工程上，一般所说的正弦电压、电流的大小都是指有效值。例如交流测量仪表所指示的读数、交流电气设备铭牌上的额定值都是指有效值。我国所使用的单相正
5、弦电源的电压U=220V，就是正弦电压的有效值，它的最大值UmU1.414220311V。应当指出，并非在一切场合都用有效值来表征正弦量的大小。例如，在确定各种交流电气设备的耐压值时，就应按电压的最大值来考虑。6-3 相量法的基本概念一 相量： 令正弦量，根据欧拉公式，可知 ，取 则 于是 最大值相量。 可以表示一个正弦量的复值常数称为相量。 有效值相量 上述表明，可以通过数学的方法，把一个实数域的正弦时间函数与一个复数域的复指数函数一一对应起来，而复指数函数的复常数部分是用正弦量的有效值（最大值）和初相结合成一个复数表示出来的。运用相量进行正弦稳态电路的分析和计算，可同时将正弦量（最大值）的
6、有效值和初相计算出来。有效值（最大值）上方加的小圆点是用来与普通复数相区别的记号，在数学运算上与一般复数的运算并无区别。+10+jI相量既然是复数，它也可以在复平面上用一条有向线段表示。如下图所示为正弦电流iIcos (t+i)的相量，其中i0。相量的长度是正弦电流的有效值I，相量与正实轴的夹角是正弦电流的初相。这种表示相量的图称为相量图。为了简化起见，相量图中不画出虚轴，而实轴改画为水平的虚线，如下图所示。 二 旋转因子+10+j-jj1+10+jw复指数函数的另一部分ejt，是一个随时间变化的旋转因子，它在复平面上是一个以原点为中心、以角速度等速旋转、模为l的复数。 取 ； 取 ； 于是旋
7、转因子。三正弦量为旋转相量在实轴上的投影相量(F e j)乘以旋转因子ejt再乘以，即ejt，所以将它称为旋转相量，称为旋转相量的复振幅相量，如图(a)所示。 旋转相量。(a)(b) 旋转相量与正弦波一个正弦量在任何时刻的瞬时值，等于对应的旋转相量该时刻在实轴上的投影。这个关系可以用图(a)、(b)分别所示的旋转相量ejt和正弦量f (t)的波形图之间的对应关系来说明。对于任何正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的复指数函数，建立起一一对应关系，从而得到表示这个正弦量的相量。由于这种对应关系非常简单，因而可以直接写出。四 同频率正弦量的相量运算1 同频率正弦量的加减法例1：，。求。解：上述计算
8、也可以根据平行四边形法则在相量图上进行。相量的加减法只对应同频率正弦量的加减法。2相量的微分运算设则 而 则 于是 当其中，稳态响应 例：如图已知：，求时的。RS (t=0)iL(t)uS(t)+_解：将正弦电压加到电阻和电感的串联电路上，描述电路的微分方程为这个微分方程的解由两部分构成，即通解和特解 其中，通解是电路的暂态电流特解是电路的稳态电流(正弦稳态响应)，与电压u同频率的正弦量 运用相量法计算电路的稳态电流。于是，电路中电流根据，确定积分常数令， 这里由三要素法可得 实质是四要素讨论：a取时，（电路立刻进入稳态）b取时， 0t分析可知，在经过不到四分之一周期，电路中电流将达到最大，约
9、是稳态电流幅值的两倍，但不会超过稳态电流幅值的两倍。6-4 电路定律的相量形式一. KCL的相量形式KCL时域形式ik =0当线性正弦稳态电路的电流都是同频率的正弦量时，因此，在所有时刻，对任一节点的KCL可表示为于是很容易推导出KCL的相量形式，即 KCL的相量形式其中 mk = Imk = Imk /ik k = Ik = Ik /ik为流出该节点的第k条支路正弦电流ik对应的相量。二. KVL的相量形式同理，在正弦稳态电路中，沿任一回路，KVL可表示为mk = 0 k = 0 KVL的相量形式式中mk、k为回路中第k条支路的电压相量。必须强调指出，KCL、KVL的相量形式所表示的是相量的
10、代数和恒等于零，并非是有效值的代数和恒等于零。6-5 R、L、C的相量模型在正弦稳态电路中，三种基本电路元件R、L、C的电压、电流之间的关系都是同频率正弦电压、电流之间的关系，所涉及的有关运算都可以用相量进行，因此这些关系的时域形式都可以转换为相量形式。一 正弦交流电路中的电阻元件1. 电阻元件伏安关系RuR(t)+_iR(t)在电压和电流的参考方向关联时，电阻R的伏安关系的时域形式当正弦电流iRIRcos(t+i)通过电阻R时，则 电压、电流的最大值(有效值)之间符合欧姆定律； 与同相令：则在电压和电流关联参考方向下电阻的伏安关系的相量形式为与共线 R+_线性电阻的相量电路、相量图如下。2.
11、 功率：瞬时功率：由于瞬时功率p是由同一时刻的电压与电流的乘积来确定的，因此当流过电阻R的电流为iR (t)IRmcos(t+i)时，电阻所吸收的瞬时功率为常量 两倍于原频率的正弦量t0uR(t)，iR(t)，pR(t)23可以看出，电阻吸收的功率是随时间变化的，但pR始终大于或等于零，表明了电阻的耗能特性。上式还表明了电阻元件的瞬时功率包含一个常数项和一个两倍于原电流频率的正弦项，即电流或电压变化一个循环时，功率变化了两个循环。瞬时功率的波形图如下图所示。平均功率： 瞬时功率在一周期内的平均值称为平均功率，记为P，即在正弦稳态电路中，我们通常所说的功率都是指平均功率而言。平均功率又称为有功率
12、。它们的单位为W。二正弦交流电路中的电感元件：1. 伏安关系：uL(t)L+iL(t)_当电压和电流参考方向关联时，电感L伏安关系的时域形式为当正弦电流通过电感L时可见 电压、电流的最大（有效）值之间符合欧姆定律。感抗值 。XL随的变化成线性，如下图。可见，电感具有通低频阻高频的特性。w0XL 电压超前电流 伏安关系的相量形式上述式表明：在正弦电流电路中，线性电感的电压和电流在瞬时值之间不成正比，而在有效值之间、相量之间成正比。此时电压与电流有效值之间的关系不仅与L有关，还与角频率有关。当L值不变，流过的电流值IL一定时，越高则UL越大；越低则UL越小。当0(相当于直流激励)时，UL0，电感相当于短路。在相位上电感电压超前电流90。线性电感的相量电路如下。jwL_+线性电感中正弦电压和电流的波形图、相量图分别如下图(a)、(b)所示。(a) (b)2. 功率： 瞬时功率：当电感两端的电压为uL(t)ULcost，流过电感的电流为iL(t)
